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1、多面体的外接球问题一、 教学内容立体几何初步的教学重点是帮助学生形成空间观念，发展学生空间想象能力。本章节中学生已经认识了简单几何体的多面体和旋转体，初步掌握了这些几何体的图形和性质，以及它们的表面积和体积公式。本节课多面体的外接球问题是在此基础上的章节复习的一个微专题课，利用信息技术手段提供几何直观，运用直观感知、动手操作、推理论证等认识探索空间中简单多面体的外接球的图形结构，运用数学知识解决问题，发展学生的空间想象能力。二、 设计理念本节课力图让学生从不同角度去研究特殊几何体的外接球，从一道高考题入手，利用外接球的概念，找球心位置和半径，通过方程计算解决外接球的体积。重新分析条件，进一步化
2、归转化条件，得出此三棱锥的特殊性，让学生意识到“长方体”模型解决问题的便捷，接着让学生自主探究，体会哪些特殊的几何体能用此模型解决问题。然后引入例题及变式，发现模型化并不能解决所有几何体的外接球问题，从而回归到通性通法。经历从一般特殊一般的过程，体验知识的产生、形成过程，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、转化、归纳，抽象概括等思维过程，培养学生的逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等核心素养。三、 教学目标1、 利用信息技术展示立体几何直观图，结合学生动手操作，培养学生的空间想象能力和作图能力；2、 复习巩固本章第一节所学的简单多面体和球体的结构特
3、征，以及几何公式等，熟练的解决与简单几何体有关的外接球的问题，培养学生良好的空间想象能力，培养学生直观想象和数学运算等核心素养。四、 教学重难点1、 确定几何体外接球的球心的位置和半径，培养学生的空间想象能力。2、 学会运用模型化思想解决特殊几何体的外接球问题，培养学生数学建模的核心素养。五、 教学方法利用信息技术融合，启发诱导式教学六、教学过程（一）课前热身，知识梳理两道习题，唤起回忆，知识回顾练1.在矩形中，沿将矩形折成一个二面角，则四面体的外接球体积为（ ）CA. B. C. D.练2.求长方体（长宽高分别为）的外接球半径.【用授课助手上传学生课前完成的作业，即本题的分析解答过程】师：让
4、我们一起来点评这两位同学的作业！很好，都正确！师：我们知道多面体的各个顶点都在它的外接球面上，因此球心到所有顶点的距离都相等，也就是球的半径。解决问题的关键就是找出外接球的球心。我们一起复习一下外接球的概念。【板书】一、知识储备1.多面体外接球的概念 2. 3.球的截面性质截面圆4.立体几何初步知识【播放微课，复习球的截面问题】（二） 课堂活动，探索新知一、引出例子，直击高考师：今年高考数学选择题12考查了这么一道外接球问题，利用我们学过的立体几何初步知识，一起来看看如何解决这类问题。（2019全国卷一第12题）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上， 是边长为2的正三角形，分别是的中点，则球的体积
5、为（ ）A. B. C. D.问：先依题意画图，从题目对于三棱锥的描述，可以知道这是什么样的三棱锥呢？答：正三棱锥。问：正三棱锥有什么性质？答：底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面的中心（外心），到三角形各顶点的距离相等。问：求外接球的体积，关键先找出球心，那么此时正三棱锥的球心位于哪里？答：在上，因为球心在截面上的投影就在截面圆的圆心（底面三角形的外心）。师：我们就可以利用球的截面性质得出这样一个关系，建立方程求出外接球半径。【板书】二、多面体外接球问题的解决方法：1、 找出球心位置底面多边形的外心勾股关系（右边板书本题分析过程）， （如何求侧棱长？）且 （能否推出线面垂直？）由于正三棱锥
6、对棱垂直，则 解得师：此题中的正三棱锥侧面实际上是直角三角形，从而发现此正三棱锥的侧棱有何特征？答：三条侧棱两两垂直。问；这样的三棱锥画图时你会想用什么几何体来衬托？答：正方体、长方体。师：很好！我们可以很形象的称它为“墙角”模型，本题正三棱锥就可以看成由正方体分割出的一个墙角。问：所以本题还可以怎么解决此三棱锥外接球的体积？答：正方体的外接球就是此三棱锥的外接球。二、 方法探究，模型化思想解决问题师：利用模型化思想，可以把此类问题转化成长方体的外接球问题。大家再想想有哪些特殊的三棱锥或者四棱锥，甚至是棱柱，可以在长方体（正方体）中找出，那么解决此类多面体的外接球问题就可以用“长方体”模型解决
7、。合作交流、动手操作：现在大家在纸上的长方体中找出与这个长方体同一个外接球的多面体！【用授课助手上传学生的作图利用“蒙层”找出学生所作的多面体名称】【板书】2、“长方体”模型三、 学以致用（高考题改编）已知三棱锥，则此三棱锥外接球的半径为_.问：能否运用“长方体”模型？答：不行。还是得找出球心位置。师：因此我们先研究底面三角形的外心。【用授课助手上传学生的解答过程】分析：本题的关键是三条侧棱都相等时顶点在底面的投影是底面三角形的外心，从而顶点、球心、外心共线，找出关系解出.（变式1）已知三棱锥，平面，则此三棱锥外接球半径为（ ）A. B. C. D.师:本题底面的外心不变，但顶点在底面的投影是
8、点，仍有平面，找出关系。问：答：此三棱锥可以补成直三棱柱，那么外接球的球心到上下底面的距离就相等， 【用“优教”截屏探究显示学生的答题情况】答案是选C（变式2）已知三棱锥，二面角的大小为，且和都是边长为 的正三角形，则此三棱锥的外接球表面积为（ ）A. B. C. D.分析：本题中提到了二面角，那么这两个半平面所在的面也就是外接球的截面，球心在这两个面的投影都是正三角形的中心，此时可以转化成这样一个四边形解决问题，先求出，【本题可留给学生课后先自行练习，从中发现新的问题，在第二课时复习时再次讲评，进一步类型归纳】四、 模型归纳基本关系，方程（组）思想解决问题。五、 回归高考题，巩固练习（可作为课后练习）练1.（2018全国卷三第10题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）A. B. C. D.练2.（2019临沂三模）正三角形的边长为2，将它沿高翻折使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为_.六、 课堂小结1、 知识小结：模型思想解决外接球问题2、 数学思想：方程组思想、化归转化思想、模型化思想3、 数学核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模、数学运算七、 课后作业2
