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1、余弦定理教课课件课题适用文档1.12余弦定理讲课方案一、讲课目的认知目标：在创办的问题情境中，指引学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：指引学生经过察看，推导，比较，由特别到一般概括出余弦定理，培育学生的创新意识和察看与逻辑思想能力，能意会用向量作为数形联合的工具，将几何问题转变成代数问题；感情目标：面向全体学生，创办相同的讲课气氛，经过学生之间、师生之间的沟通、合作和谈论，调换学生的主动性和踊跃性，给学生成功的体验，培育学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。二、讲课重难点要点：研究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用
2、。难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的娴熟应用。三、学情分析和讲课内容分析在学习本节课以前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理能够来解哪些种类的三角形。在此基础上，教师能够创办一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实质例子，学生发现不可以够用上一节所学的知识来解决这一问题，进而引起学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理讲课中时，考虑到它比正弦定理形式上更为复杂，教师能够有目的的供给一些供研究的素材，并作必需的启迪和指引，让学生进行思虑，经过类比、联想、思疑、研究等步骤，辅以小组合作学习，成立猜想，获取命题，再想方想法去证明。在
3、用两种不一样样的方法证明余弦定理时，学生可能会碰到证明思路上的困难，教师能够适合的点拨。四、讲课过程环节一【创办情境】1、复习引入让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些种类的问题。2、状况引入如图1，某地道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算地道经过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适合的地点A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后经过计算求出山脚的长度BC。B学生不难将这个实诘问题转变到数学识题：已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的其余一边。这个问题是不可以够使用正弦定理来求解的。学生急迫的希望应用新知识来解决这个问题。CA图1环
4、节二【导入新课】问题：在ABC中，当C=90时，有c2=a2+b2若a，b边的长短不变，变换C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请同学们思虑。教师激励学生踊跃思虑，勇敢讲话，启迪学生解决问题，学生回答，借助于多媒体动画演标准文案适用文档示结果。如图2，若C90时，因为AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2a2+b2BBBBA图2ACC图3如图3，若C90时，因为AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2a2+b2经过谈论学生已获适当C90时，222ca+b。环节三【新课研究】研究1、在上一个问题中，我们已经知道，当222222C90时，ca+b。那么c与a+b终归有什
5、么等量关系呢？请同学们连续研究。教师指引学生疏组合作学习，可让几个小组的学生研究当C为锐角时的结论，其余的小组研究当C为钝角时的结论。最后沟通研究，展现成就。如图4，当C为锐角时，作BDAC于D，BD把ABC分红两个直角三角形：BADC图4222在RtABD中，AB=AD+BD；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCcosC=acosC222所以，AB=AD+BD化为c2=(bacosC)2+(asinC)2，222222c=b2abcosC+acosC+asinC，222c=a+b2abcosC222能够看出C为锐角时，ABC的三边a，b，c拥有c=a+b2abcosC的
6、关系。BADC图5ACB是两个直角三角形之差。222在RtABD中，AB=AD+BD标准文案适用文档在RtBCD中，BCD=CBD=BCsin(C)，CD=BCcos(C)所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=b+acos(C)2+asin(C)2=b2+2abcos(C)+a2cos2(C)+a2sin2(C)=b2+2abcos(C)+a2因为cos(C)=cosC，所以也能够获取2222abcosC。c=b+a教师点拨：以上两种状况，我们能够察看向量AC在向量BC方向上的正射影的数目：当C分别是锐角和钝角的时候，获取两个数目符号相反；当C是直角的时候，其向量AC在
7、直角边上的正射影的数目为零。所以，不论是C是锐角、直角仍是钝角，都有ADbsinC,DCbcosC,BDabcosC,在RtADB中，运用勾股定理，得c2=a2+b22abcosC，我们轮换A，B，C的地点能够得到222a=b+c2bccosA222b=c+a2accosB于是，我们获取三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的内容）余弦定理三角形任何一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即222c=a+b2abcosC222a=b+c2bccosA222b=c+a2accosB从以上的公式中解出cosA,cosB,cosC,则能够获取余弦定理的其余一
8、种形式：cosAb2c2a2cosB2bcc2a2b2cosC2caa2b2c22ab从以上分析过程，我们对C不是直角的状况有了清楚认识。我们不只要认识到，C为锐角和钝角时都有c2=a2+b22abcosC，还要意会出如何把一个斜三角形转变成两个直角三角形的。这类由未知向已知转变的思想在数学中常常用到。研究2、你还可以够用向量的方法证明余弦定理吗？参看教材例1左上方的思路提示。标准文案适用文档教师点拨学生的思路，能够让学生疏组谈论、研究，最后教师用多媒体展现证明的思路及过程。如图6，在ABC中，设ABc,CAb,BCa，BCACAB,2AC2BCAB2222ABACBCACAB222图6BCA
9、CAB2ABACcosA即：a2b2c22bccosA教师谈论：关于研究1，我们分C是锐角和钝角的状况对余弦定理的形式给出了证明，过程比较复杂；关于研究2，我们应用向量的数目积能够很简单的证明余弦定理，这就能够看出向量作为一种工具在证明一些数学识题中的作用，在此后的学习中，我们应当增强对所学知识的应用。研究3、余弦定理在解三角形中的应用教师启迪学生：依据余弦定理的两种形式，能够看出它能够解决解三角形的哪些种类？（学生其实不难发现，余弦定理能够用来解决两种解三角形的种类：已知三角形的两边及其夹角，求第三边；已知三角形的三边，求三个内角。）下边，请同学们依据余弦定理的这两种应用，来解决以下三个例题
10、。（用多媒体展现例题）例1、在ABC中，已知a=5,b=4,C=120O,求c.例2、在ABC中，已知a=3,b=2,c=19,求此三角形三个内角的大小及其面积（精准到0.1）.例3、ABC的定点为A(6,5),B(-2,8),和C(4,1),求A(精准到0.1).双边活动：师生能够共同达成例题，进一步的加深学生对余弦定理的应用。环节四【练习与坚固】1、在ABC中，a=1,b=1,C=120O,则c=。2、在ABC中，若三边a,b,c知足a2b2c2bc，则A=。3、在ABC中，已知sinA:sinB:sinC3:4:5,这个三角形是（填锐角、直角、钝角三角形）。4、在ABC中，BC=3,AC
11、=2,AB上的中线长为2，求AB。双边活动：学生限时训练，让学生回答结果，关于犯错题目加以解说，能够用多媒体展现第4 题的解题过程。环节五【讲堂反省总结】经过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何意会？（先由学生回答总结，教师合时的增补圆满）1、余弦定理的发现从直角下手，分别谈论了锐角和钝角的状况，表现了由特别到一般的认识标准文案适用文档过程，运用了分类谈论的数学思想；2、用向量证了然余弦定理，表现了数学知识的应用以及数形联合数学思想的应用；3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理能够解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求
12、内角的两类问题。（从实诘问题出发，经过猜想、实验、概括等思想方法，最后获取了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特色是从特别到一般，我们不只收获着结论，并且整个研究过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在重申研究性学习方法，重视学生的主体地位，调换学生踊跃性，使数学讲课成为数学活动的讲课。）环节六【部署课后作业】1、若三角形ABC的三条边长分别为a2，b3，c4，则2bccosA2cacosB2abcosC。2、在中,若7,8,13,则最大内角的余弦值为_。ABCabcosC143、已知ABC中，acosB=bcosA，请判断三角形的形状（用两种不一样样的方法）。五、讲课反省1、余弦定理是解三角形的重要依据，要赏赐足够重视。本节内容安排两节课适合。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复
