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1、几何最值问题解法在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长 度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问 题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角 形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例 探讨其解法。应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题：例1.如图，ZM0N=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM, ON上，当B在边ON
2、上运动 时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2, BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为【 】D.例2.在锐角三角形ABC中，BC= 4迈,ZABC=45, BD平分ZABC，M、N分别是BD、BC 上 的动点，则CM+MN的最小值是.例3.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9兀cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为cm。例4.在厶ABC中，AB = 5, AC = 3, AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是练习题：1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.
3、若一只蚂蚁从P点开】2且PC= 3BC 只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是3禹 cmD、 7cm2. 如图，圆柱的底面周长为6cm, AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC 上一点,A、(4 + -) mB、5cm C、兀3. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为 线段EF 上一个动点，连接BP、GP，则BPG的周长的最小值是.二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1.在厶ABC中，AB=AC=5, BC = 6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是例2.如图，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120，点P
4、, Q, K分别为线段BC, CD, BD上的任意 一点，则PK+QK的最小值为【】ADQA. 1B.C. 2D. *3 + 1例3.如图，点A的坐标为（T, 0）,点B在直线y二x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】11A.(0，0)B. ( 乂 ,)22C.D.例4.如图，在 ABC中，ZC=90, AC=BC=4, D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上 运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中, 有下列结论： ADFE是等腰直角三角形； 四边形CEDF不可能为正方形； 四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化; 点C到
5、线段EF的最大距离为】迈.其中正确结论的个数是【 】A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个例 5.如图，AABC 中，ZBAC=60,ZABC=45, AB=2f2 , D 是线段 BC 上的一个动点，以AD为直径画00分别交AB，AC于E, F,连接EF,则线段EF长度的最小值为EDC例6.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120,AEF为正三角形，点E、F分别在 菱形的边BC. CD 上滑动，且E、F不与B. C. D重合.(1) 证明不论E、F在BC. CD 上如何滑动，总有BE=CF；(2) 当点E、F在BC. CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF和AC
6、EF的面积是否发生变化？ 如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.AC练习题：1. 如图，0P平分ZM0N,PA丄ON于点A,点Q是射线0M上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】A、1B、2C、3D、43.如图，00的半径为2,点0到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切0O于点Q,则PQ的最小值为【】A. v134. 如图，在四边形ABCD中，ZA=90, AD=4，连接BD,BD丄CD,ZADB=ZC.若P是BC边 上一动点，则DP长的最小值为.三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例1.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底
7、4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁 到达蜂蜜的最短距离为 cm.例2.如图，四边形ABCD中，ZBAD=120, ZB=ZD = 90，在BC、CD上分别找一点M、N,使AAMN周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为【】A130B120C110D100例3.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则 OP - OQ =1亠LO例4.如图，正方形ABCD中，AB=4, E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，贝V
8、PE+PB的最小值为例5.如图，MN为00的直径，A、B是0上的两点，过A作AC丄MN于点C,过B作BD丄MN于点D, P为DC 上的任意一点，若MN=20, AC = 8, BD = 6,则PA+PB的最小值是A练习题：1.如图，已知点A(1,1)、B(3, 2),且P为X轴上一动点，贝yABP的周长的 最小值为2. 如图,在平面直角坐标系中，有A(l,),(3,)两点，现另取一点C(a,l),当&=时,ACBC 的值最小1yB3X21fa102343. 去冬今春,济宁市遭遇了200 年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一 座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘
9、查后，工程人员设计图纸时, 以河道上的大桥0为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)。两村的 坐标分别为 A(2，3)，B(12，7)。(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥0多远的地方可使所用输水管道最短？4. 如图，正方形ABCD的边长是4,ZDAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值【】A、2B、4c、2迈 D、4巨5. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6, BC = 8，点E是BC中点，点F是边CD 上的任意一点，当AAEF的周长最小时，则DF的长为【】A12C3D4B6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD
10、=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是【】DA3B4C5D67. 如图，在梯形ABCD中，ABCD,ZBAD=90, AB=6，对角线AC平分ZBAD，点E在AB上，且AE=2 (AEVAD),点P是AC 上的动点，贝V PE+PB的最小值是 四、应用二次函数求最值：典型例题：例1.正方形ABCD的边长为lcm, M、N分别是BC. CD 上两个动点，且始终保持AM丄MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2.例2.如图，线段AB的长为2, C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两
11、个等腰直角三角形AACD和厶BCE，那么DE长的最小值 A.CS例3.在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作API PE, 垂足为P, PE交CD于点E.连接AE，当 APE与厶ADE全等时，求BP的长；(2) 若设BP为x, CE为y,试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大 值是多少？若PEBD，试求出此时BP的长.例6.如图，已知半径为2的00与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C, PC与00交于点D,连接PA、PB，设PC的长 为 x(2 x 4).当x=5时，求弦PA、PB
12、的长度；2当x为何值时，PD - PC的值最大？最大值是多少？例7.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与 点A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折 痕为EF，连接BP、BH.(1) 求证：ZAPB=ZBPH；(2) 当点P在边AD 上移动时，APOH的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3) 设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小 值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.(备用图)五、应用其它知识求最值：典型例题：例1.如图.在 ABC中，ZB = 90,ZA=30, AC=4cm,将厶ABC绕顶点C顺时针 方向旋转至 ABC的位置，且A、C、B三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为【 】A、4、： 3cmB、 8cm 8cmD、例2.如图，已知线段0A交00于点B,且0B=AB，点P是00上的一个动点，那么ZOAP的最大值是【 】A30 B45 C60 D90例3.如图，AABC中，ZC=90, AC=3,ZB=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是【 】A、3.5B、4.2C、5.8D、7例12.已知00的半径为1,圆心0到直线l的距离为2,过l上的点A作00的切线,切点为B，则线段AB的长度的最小值为【】C.爲
