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1、时间序列分析讲义Time Series Analysis吉林大学商学院 刘金全时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态
2、属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析”，以及Box和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。本课程将介绍时间序列
3、分析的基本方法，预计讲授时间为54学时。本课程将布置一定的作业，并且进行笔试。主要参考书目：1 Box, G. E. P. and Jenkins, G. M., Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden Day, 1976. 2 Enders W., Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Inc., 1995. 3 Mill, T. C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, second ed
4、ition, Cambridge University Press, 1999. 4 李子奈, 叶阿忠, 高等计量经济学, 清华大学出版社, 2000年. 5 Hargreaves, C. P., Nonstationary Time Series Analysis and Cointegration, Oxford University Press, 1994.6 Kim, C. J. and Nelson, C. R., State-Space Models with Regime Switching: Classical and Gibbs-Sampling Approaches wit
5、h Applications. The MIT Press, 1999. 7 Banerjee, A., Dolado, J. J. and Hendry, D. F., Cointegration, Error Correction and the Economic Analysis of Non-Stationary Data, Oxford University Press, 1993. 8 Hendry, D. F., Dynamic Econometrics, Oxford University Press, 1995. 9 Barnett, W. A., Kirman, A. P.
6、 and Salmon, M., eds., Nonlinear Dynamics and Economics, Cambridge University Press, 1996.10 Harvey, A. C., Forecasting Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, 1989. 第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程
7、求解问题，因此确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。1.1 一阶差分方程假设利用变量表示随着时间变量变化的某种事件的属性或者结构，则便是在时间可以观测到的数据。假设受到前期取值和其他外生变量的影响，满足下述方程： (1.1)在上述方程当中，由于仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量是随机变量，则此方程是随机差分方程。下面我们假设是确定性变量。例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行才储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为、和，则可以估计出美国货币需求函数为：上述方程
8、便是关于的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： ：依次进行叠代可以得到： (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。1.1.2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplie
9、r)在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如的变化对阶段以后的的影响。假设初始值和不受到影响，则有： (1.3)类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到： (1.4)上述乘子仅仅依赖参数和时间间隔，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。例1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即：利用差分方程解的具体系数，可以得到：，从而可以得到二阶乘子为：注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，
10、其弹性是比较微弱的。定义1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为相对于外生扰动的反应函数：， (1.5)显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数的取值。(1) 当时，反应函数是单调收敛的；(2) 当时，反应函数是震荡收敛的；(3) 当时，反应函数是单调扩张的；(4) 当时，反应函数是震荡扩张的；可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性：当时，反应函数是收敛的；当时，反应函数是发散的。一个特殊情形是的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即的一个单位变化将导致其后任何时间的一个单位变化：，为了分析乘子的持久作用，假设时间序列的现值贴现系数为，则未来所有时间的流贴现到现在的总值为： (1
11、.6)如果发生一个单位的变化，而不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：，上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果发生一个单位的变化，而且其后的也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于时刻的的影响乘数是： (1.7)当时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响： (1.8)例1.3 货币需求的长期收入弹性 在例1.1中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为：这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于以后路径的累积
12、影响，这时可以将这种累积影响表示为： (1.9)1.2 阶差分方程如果在方程当中允许依赖它的阶前期值和输入变量，则可以得到下述阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)： (1.10)为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式： (1.11)其中：，其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方程均是定义方程：，将阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于可以进行比较方面的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为： (1.12)利用表示矩阵中第行、第列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表示为： (1
13、.13)需要注意，在阶差分方程的解中需要知道个初值：，以及从时刻开始时的所有外生变量的当前和历史数据：。由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程表示为： (1.14)类似地，表示成为单方程形式： (1.15)利用上述表达式，可以得到阶差分方程的动态反应乘子为：，例1.4 在阶差分方程中，可以得到一次乘子为：二次乘子为：虽然可以进一步通过跌代的方法求出更高阶的反应乘子，但是利用矩阵特征根表示则更为方便。矩阵的特征根是满足下述的值： (1.16)例1.5 在二阶差分方程当中，特征方程为：具体可以求解出两个特征根为：， (1.17)距阵的特征根与阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出：命题1.1 距阵的特征根满足下述方程，此方程也称为阶线性差分方程的特征方程：证明：根据特征根的定义，可知特征根满足：对上述行列式进行初
