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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的两个特解若常数，使y1+y2是该方程的解，y1-y2是对应的齐次方程的解，则(3)设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g (x)0，若g(x0)=a是g(x)的极值，则f(g(x)在x0取极大值的一个充分条件是(A) f(a)0 (B) f(a)0 (C) f (a)0 (D) f (a)0(4)，则当x充分大时有(A) g(x)h(x)f(
2、x) (B)h(x)g(x)f(x)(C) f(x)g(x)h(x) (D)g(x)f(x)h(x)(5)设向量组：1，2，r，可由向量组：1，2，3线性表示，则下列命题正确的是(A) 若向量组线性无关，则rs (B) 若向量组线性相关，则rs(C) 若向量组线性无关，则rs (D)若向量组线性相关，则，rs.(6)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A与A相似于(7)设随机变量X的分布函数(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为-1，3上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足(A)2a+3b=4 (B)3a+2b=4 (C)a+b=1 (D)a+
3、b=2二、填空题(把答案填在题中横线上。)(9)设可导函数y=y(x)由方程_.(10)设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为_(11)设某商品的收益函数为R(P)，收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R(1)=1，则R(P)=_.(12)若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1，0)，则b=_(13)设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=_(14)若X1，X2，Xn，为来自正态总体N(,2)(0)的简单随机样本，记统计量，则E(T)=_三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(16)
4、(17)求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值(18)(19)设函数f(x)在闭区间0，3上连续，在开区间(0，3)内二阶可导，且()证明存在(0,2)，使得f()=f(0)；()证明存在(0,3)，使得f ()=0(20)已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解()求，a；()求方程组Ax=b的通解(21)(22)设二维随机变量(X，y)的概率密度为求常数A以及条件概率密度f Y|X(y|x)(23)箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出红球的个数，Y为取出白球的个数()求随机变量(X，Y)的概率分布；()求
5、Cov(X，Y)参考解答一、选择题(1) C (2) A (3) B (4) C (5) A (6) D (7) C (8) A二、填空题(9)-1 (10) (11)(12)3 (13)3 (14)2+2三、解答题(15)分析：化为指数形式，用洛比达法则及等价无穷小替换(16)分析：被积函数展开，利用二重积分的对称性解：显然D关于x轴对称，且D=D1D2，其中评注：二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容(17)分析：本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法.评注：求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型。(18)分析：对()比较被积函数的大小，对()用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限
6、评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息(19)分析：需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。证明：()因f(x)在闭区间0，2上连续，由积分中值定理得，至少存在一点(0，2)，使得又f(x)在闭区间2，3上连续，从而介于f(x)在2，3上的最大值与最小值之间，由介值定理知，至少存在一点2，3，使得f(y)=f(0)因此f(x)在区间0，上都满足罗尔中值定理条件，于是至少存在点1(0，)，2(，)，有 f(1)=f(2)=0，由f(x)在0O，3上连续，在(0，3)内二阶可导，知f(x)在1，2上连续，在(1，2)可导，用罗尔中值定理，至少存在一点(1，2)(0，3)，使得
7、f()=0评注：一般地有如下结论：设f(x)在a，b上连续，ax1x2xnb，(i=1，2，n)，(20)分析：本题考查方程组解的判定与通解的求法由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解解：()解法一 由线性方程组Ax=b存在2个不同解，得=-1，a=-2解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解，知r(A)=r(A|b)3，因此方程组的系数行列式得=1或-1；而当=1时，r(A)=1r(A|b)=2，此时，Ax=b无解，所以=-1由r(A)=r(A|b)得a=-2()当=-1，a=-2时，故方程组Ax=b的通解为，k为任意常数(21)分析：本
8、题考查实对称矩阵的正交对角化问题由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q=(+4)(-2)(-5)=0得A的特征值为 1=2，2=-4，3=5，且对应于1=2的特征向量为由(-4E-A)x=0得对应于2=-4的特征向量为2=(-1，0，1)T。南(5E-A)x=0得对应于3=5的特征向量为3=(1，-1，1)T因A为实对称矩阵，1，2，3为对应于不同特征值的特征向量，所以1，2，3为单位正交向量组令(22)分析：本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度解：由联合概率密度的性质有(23)分析：本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征，第一问实际上为古典概率问题解：()易知X的所有可能取值为0，1，Y的所有可能取值为O，1，2X=i，Y=j表示取到i个红球，j个白球由古典概型得故二维随机变量(X，Y)的概率分布为
