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1、第五章 二次型1用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1）；2）；3）；4）；5）；6）；7）。解 1）已知 ，先作非退化线性替换 （1）则 ，再作非退化线性替换 （2）则原二次型的标准形为 ， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 （3）于是相应的替换矩阵为 ，且有 。 2）已知，由配方法可得 ，于是可令 ，则原二次型的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，相应的替换矩阵为 ，且有 。 （3）已知，由配方法可得 ，于是可令 ，则原二次型的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，相应的替换矩阵为 ，且有。（4）已知，先作非退化线性替换 ，则 ，再作非退化线性替换 ，则 ，
2、再令 ，则原二次型的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，相应的替换矩阵为 ，且有 。（5）已知，先作非退化线性替换 ，则 ，再作非退化线性替换 ，即 ，则原二次型的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，相应的替换矩阵为 ，且有 。 （6）已知 ，由配方法可得 ，于是可令 ，则原二次型的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，故替换矩阵为 ，且有 。 （7）已知，由配方法可得 ，于是可令 ，则原二次型的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，相应的替换矩阵为 ，且有 。 （）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解 1）已求得二次型 的标准形为 ，且非退化线性替换为
3、，（1） 在实数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。（2） 在复数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。 2）已求得二次型 的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 。 3）已求得二次型 的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，（1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 。（2） 在复数域上，若作非退化线性替换 。可得二次型的规范形为 。（3） 已求得二次型 的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，（1） 在实数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。（2）在复数域上，若作
4、非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。（5）已求得二次型 的标准形为 ，且非退化线性替换为 ，（1） 在实数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。（2） 在复数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。 6）已求得二次型 的标准形为 ，且非退化线性替换为 。（1）在实数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。（2）在复数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为 。7）已求得二次型 的标准形为 ，且非退化线性替换为 。（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 。（2） 在复数域上，若作非退化线性替换 ，可得二次型的规范形为
5、。 2证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和。 证 由题设知且，于是存在可逆矩阵使 ，且为对角阵，又因为均为可逆矩阵，所以有 ，其中 于是 。因 ，且 。即都是对称矩阵，故可表成个秩为1的对称矩阵之和。3证明： 与 合同，其中是的一个排列。证 题中两个矩阵分别设为，与它们相应的二次型分别为 ， ，作非退化的线性替换 ，则可化成。故与合同。 4设是一个阶矩阵，证明： 1）是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量，有。 2）如果是对称矩阵，且对任一个维向量有，那么。 证 1）必要性。因为，即，所以 由于，故 。 充分性。因为，有，即 ，这说明原式是一个多元零多项式，故有 ，即。 2）由于
6、是对称的，且，即 ，这说明为一个多元零多项式，故有 ， ，即。5如果把实阶对称矩阵按合同分类，即两个实阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？解 实对称矩阵与合同的充要条件为存在可逆矩阵与使 。 下面考虑对角矩阵的相应二次型的合同分类情况，在中可分为 共计个合同类。但秩又可分别取，故共有 个合同类。6证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。证 必要性。设 ，其中均为实数。1） 若上式右边的两个一次式系数成比例，即 不失一般性，可设，则可作非退化线性替换 使二次型化为 ，故二次型的秩为1。2） 若两个一次式系数不成比例，不妨设，则可作非退化线性替换 ，使 。再令 ，则二次型可化为 ，故二次型的秩为2，且符号差为0。充分性。1）若的秩为1，则可经非退化
