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1、2017-2018学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A2iB2+iC2+iD2i2（5分）设n是自然数，f（n）1+，经计算可得，f（2），f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）观察上述结果，可得出的一般结论是（）Af（2n）Bf（n2）Cf（2n）D3（5分）曲线f（x）xlnx在点x1处的切线方程为（）Ayx+1Byx1Cy2x+2Dy2x24（5分）计算（1cosx）dx（）A+2B2CD25（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满
2、足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z1；p4：若复数zR，则R其中的真命题为（）Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p46（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（，1），（l，e）内均有零点B在区间（，1），（l，e）内均无零点C在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点7（5分）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，BC互相垂直，则有|AB|2+|AC|2|BC|2“，扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，
3、ACD，ABD两两互相垂直，则可得（）A|AB|2+|AC|2+|AD|2|BC|2+|CD|2+|BD|2B|AB|2|AC|2|AD|2|BC|2|CD|2|BD|2C+D8（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）73t+（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A1+25ln 5B8+25ln C4+25ln 5D4+50ln 29（5分）已知a、b、c是互不相等的非零实数若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c0，bx2+2cx+a0，cx2+2ax+b0至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（）A三个方程
4、都没有两个相异实根B一个方程没有两个相异实根C至多两个方程没有两个相异实根D三个方程不都没有两个相异实根10（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+a2在x1处有极值10，则f（1）（）A2B30C2 或 30D10 或 3011（5分）已知函数f（x）mlnx+x2mx在（l，+）上单调递增，则实数m的取值范围（）A（，4B（，4）C（，8）D（，812（5分）设函数f（x）x2+2x2（ex1+e1x），则不等式f（x+1）f（2x2）的解集为（）A（，1）（3，+）B（1，3）C（，）（1，+）D（，1）二、填空题：本大题共4个小题，毎小题5分，共20分13（5分）复数（i）3的模等
5、于 14（5分）观察下列各式：a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则a8+b8 15（5分）已知函数f（x）x3+x2+ax在区间（1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是 16（5分）已知曲线f（x）3x4+a与g（x）4x3有公共点，且在公共点处的切线重合，则切线方程为 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知m0，a，bR，用分析法证明：（）218（12分）已知z为复数，z+2i为实数，为纯虚数，其中i为虚数单位（1）求复数z；（2）若复数z+3m+（6m2）i在复平面内对应的点在第一象限
6、，求实数m的取值范围19（12分）已知函数f（x）x2lnx（1）求函数yf（x）的单调区间；（2）求函数yf（x）在上的最大值与最小值20（12分）已知函数f（x）x3+ax2+3x+1（aR）（1）若函数f（x）有极值，求实数a的取值范围；（2）若a0，过点P（0，2）可作曲线f（x）的三条切线，求实数a的取值范围21（12分）将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），设第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第n组包含的正整数的和分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，
7、Sn（1）计算S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，并求Sn；（2）计算S1+S3，S1+S3+S5，S1+S3+S5+S7的值，试猜测S1+S3+S5+S2n1的结果，并用数学归纳法证明附公式：k4+4k3+6k2+4k+1（k+1）422（12分）已知函数f（x）lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围2017-2018学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A2iB2+
8、iC2+iD2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得答案【解答】解：，复数的共轭复数是2+i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题2（5分）设n是自然数，f（n）1+，经计算可得，f（2），f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）观察上述结果，可得出的一般结论是（）Af（2n）Bf（n2）Cf（2n）D【分析】已知的式子可化为f（22），f（23），f（24），f（25），由此规律可得f（2n）【解答】解：f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）f（22），f（23），f（24），f（25），以此类推，可得f（2
9、n）（n1）f（2）f（2n）故选：C【点评】本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题3（5分）曲线f（x）xlnx在点x1处的切线方程为（）Ayx+1Byx1Cy2x+2Dy2x2【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，利用点斜式可求切线方程【解答】解：求导函数，可得ylnx+1，x1时，y1，y0，曲线yxlnx在点x1处的切线方程是yx1，即yx1故选：B【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题4（5分）计算（1cosx）dx（）A+2B2CD2【分析】求出原函数，即可求得定积分【解答】解：（1cosx）dx（
10、xsinx）（sin）sin（）2，故选：B【点评】本题考查定积分，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z1；p4：若复数zR，则R其中的真命题为（）Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案【解答】解：若复数z满足R，则zR，故命题p1为真命题；p2：复数zi满足z21R，则zR，故命题p2为假命题；p3：若复数z1i，z22i满足z1z2R，但z1，故命题p3为假命题；p4：若复数zR，则zR
11、，故命题p4为真命题故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题6（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（，1），（l，e）内均有零点B在区间（，1），（l，e）内均无零点C在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案【解答】解：由题得，令f（x）0得x3；令f（x）0得0x3；f（x）0得x3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+）为增函数
12、，在点x3处有极小值1ln30；又，故选：C【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减7（5分）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，BC互相垂直，则有|AB|2+|AC|2|BC|2“，扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ABD两两互相垂直，则可得（）A|AB|2+|AC|2+|AD|2|BC|2+|CD|2+|BD|2B|AB|2|AC|2|AD|2|BC|2|CD|2|BD|2C+D【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方
13、等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：SABC2+SACD2+SADB2SBCD2故选：C【点评】本题考查从平面类比到空间，属于基本类比推理，考查空间几何等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于基础题8（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）73t+（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A1+25ln 5B8+25ln C4+25ln 5D4+50ln 2【分析】令v（t）0，解得t4，则所求的距离sv（t）dt，解得即可【解答】解：令v（t）73t+0，化为3t24t320，又t0，解得t4由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s（73t+）dt7t+25ln（1+t）|4+25ln5故选：C【点评】熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键9（5分）已知a、b、c是互不相等的非零实数若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c0，bx2+2cx+a0，cx2+2ax+b0至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（）A三个方程都没有两个相异实
