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1、 1 13个附加题综合仿真练(六)1本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲 如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足求证：(1)PACCAB；(2)AC2APAB.证明：(1)因为PC切半圆O于点C，所以PCACBA.因为AB为半圆O的直径，所以ACB90.因为APPC，所以APC90.因此PACCAB.(2)由(1)知，APCACB，故，即AC2APAB.B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，B.(1)求AB；(2)若曲线C1：1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程解：(1)因为A，B，所以AB.(2)设Q(x0，y
2、0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，则，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则1，从而1，即x2y28.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2y28.C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若圆C与直线l相切，求直线l的极坐标方程解：圆的直角坐标方程为x2(y2)21，设直线l对应的直角坐标方程为ykx，因为圆C与直线l相切，所以d1，得到k，故直线l的极坐标方程或.D选修45：不等式选讲已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c
3、2d216，证明：acbd8.证明：由柯西不等式可得：(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.2.已知正六棱锥SABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积(1)求概率P(X)的值；(2)求X的概率分布，并求其数学期望E(X)解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C35种取法其中X的三角形如ABF，这类三角形共有6个因此P(X). (2)由题意，X的可能取值为，2，2，3.其中X的三角形如ABF，这类三角形共有6个；其中X2的三角形有两类，如
4、SAD(3个)，SAB(6个)，共有9个；其中X的三角形如SBD，这类三角形共有6个；其中X2的三角形如CDF，这类三角形共有12个；其中X3的三角形如BDF，这类三角形共有2个因此P(X)，P(X2)，P(X)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的概率分布为：X223P所求数学期望E(X)223.3已知数列an满足：a11，对任意的nN*，都有an1an.(1)求证：当n2时，an2；(2)利用“x0，ln(1x)x”，证明：an2e(其中e是自然对数的底数)证明：(1)由题意，a212，故当n2时，a22，不等式成立假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即ak2，则当nk1时，ak1ak2.所以，当nk1时，不等式也成立根据可知，对所有n2，an2成立. (2)当n2时，由递推公式及(1)的结论有an1anan(n2)两边取对数，并利用已知不等式ln(1x)x，得ln an1lnln anln an，故ln an1ln an(n2)，求和可得ln anln a2.由(1)知，a22，故有ln，即an2e(n2)，而a112e，所以对任意正整数n，有an2e.
