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1、第2章：课外练习作业1. 考察本章所列出的几种典型（一维Logistic Map、二维Henon Map、Lorenz系统、Rossler系统）非线性动力学系统通向混沌途经。要求：(1). 进行数值求解，考察求解变量非线性时间序列曲线，并绘制出2D及3D解集，总结吸引子特征；(2). 考察初值敏感性，即改变初值后的解轨线敏感变化情况；(3). 考察2D往返图，考察混沌系统吸引子形态。解：1、一维Logistic MapLogistic的方程表达式为：(1) x的变化范围为0,1, 参量r通常在0到4取值。取x的初值为0.5，分别取a=2.8,3.14,3.45,3.8绘制时间序列图。图1 a取
2、值为2.8,3.14,3.45,3.8时的时间序列从图1中可以看出随着参数a的变化，x值的吸引子由一个变为两个，两个变为四个。不断的变化。图2是利用matlab绘制的Logistic map图。图2 logistic混沌模型倍周期分叉图横坐标是参变量a，纵坐标是对应的吸引子。从图2可以看出系统是周期分叉进入混沌系统。当a值大于3.5左右后系统进入混沌状态。在混沌区并非“漆黑一片”，将某些周期窗口局部放大，可见相似的倍周期分岔结构(如图3所示)，如此继续，可得无穷嵌套的自相似结构，章法井然，显然是无序中的有序。图3 局部放大的logistic混沌模型倍周期分叉图(2)分别取a=2.8,3.14,
3、3.45,3.8讨论初值敏感性。图4 a取值不同时对初值的敏感性如图4所示，a=2.8,3.14时，系统没有进入混沌状态，改变初值，x值收敛到定值，初值的变化对系统最终的状态没有影响。a=3.8时系统进入混沌状态，初值的微小变化都会引起最终结果的巨大变化。a的取值是系统混沌时，整个系统对初值的变化很敏感。(3)图5 logistic map 2D往返图由图5易知，混沌系统不是完全随机的，它是一种确定性的随机信号，具有某些特有的性质，其往返图具有特定的形状。2、二维Henon Map(1)取b=0.3，分别取a=1,a=1.32，初始值为x=0.1,y=0.2，时间序列曲线如下图6 henon
4、map 时间序列图a=1时，系统处于周期状态；a=1.32时，系统进入混沌状态。图7 henon map 2D解集(2)图8 henon map 初值敏感性取a=1.32,b=0.3时，系统处于混沌状态，对于很接近的两点来说，系统轨迹也会快速分离。(3)图9 henon map 往返图Henon map往返图同样具有确定性。3、lorenz model (1)取参数=10，b=8/3，初值点取为（10 1010）。当r=28时，系统处于混沌状态，解集如图6所示。图6 不同角度lorenz系统(2)图7 lorenz model x初始值不同时的变化图7表明，分别取x0=1和1.00001，可以
5、看出系统处于混沌状态时，初始值微小的变化对系统的演化产生巨大的影响。(3) Lorenz系统2D往返图同样具有规律性，但是不同系统的混沌状态不相同，其往返图形状不同。图8 lorenz系统2D往返图4、rossler model方程：(1)a=0.1,b=0.1时，c取不同值时，系统的时间序列图，2D解集和3D解集如图图9 rossler系统x时间序列图图10 rossler系统x-y的2D解集图11 rossler系统x-y的3D解集(2) a=0.1,b=0.1,c=18时，x取不同初始值时，系统处于混沌状态，对初值很敏感，如图12所示，一个变量初始值得微小变化都可以带来系统状态的很大变化
6、。图12 rossler系统初值敏感性(3)其2D往返图如图13所示图13 rossler系统x分量的2D往返图Rossler系统2D往返图同样具有规律性，但是不同系统的混沌状态不相同，其往返图形状不同，y、z分量的2D往返图类似。2.对Rossler系统，取a=0.1, b=0.1及c=4、6、8.5、8.7、9、12.8、13、18，要求：(1). 观察解轨线从周期变化到混沌、混沌变化到周期过程；(2). 观察变量x与c的分岔变化规律。解：(1)图14 rossler系统状态变化(2)分岔图如图15所示图15 rossler系统分岔图3.Duffing方程，计算给出F取不同值（依次为0.2
7、0、0.27、0.28、0.2867、0.32、0.365、0.40、0.645、0.85）时的曲线及（）相平面上轨线。解：F值不同时，系统时间序列曲线以及像平面轨线如图16所示，可以看出，系统经历了由周期到混沌，混沌到周期的过程。图16 系统F值不同时，时间序列及相平面曲线第3章：课外练习作业1. 已知分形函数如下：式中，D为分形维数，b为常数。取b=2及D=1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8和1.9，分别产生不同维数时的分形时间序列。要求：(1). 根据如上产生的分形时间序列，由R/S分析法计算不同维数时的Hurst标度估计值，并与所设定的分形维数进行相关比较，
8、评价R/S分析法提取标度的效果；(2). 在如上式分形时间序列基础上叠加噪声，即产生如下所示的含有噪声的分形时间序列：，式中为原始时间序列标准差，为高斯随机变量(满足均值为0及方差为1的独立分布)，为噪声强度，可分别取=1,3,5,7。在上述条件下，重新考察R/S分析法计算的不同维数的Hurst标度估计值，并讨论之。解：(1)D分别取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8和1.9时，分形时间序列如图17所示，由R/S算法计算的Hurst标度估计值和真值情况如表1所示图17 分形时间序列表1 R/S算法估计Hurst标度值D1.11.21.31.41.51.61.71.8
9、1.9H真0.90.80.70.60.50.40.30.20.1H估计0.82250.76530.69560.61940.54250.46800.39430.32420.2598R/S算法可以较好的得到Hurst标度的估计值，误差较小。图18 无噪声时，分形维数和Hurst标度估计值间关系(2)噪声强度为1时，不同分形维数下时间序列如图19所示图19 噪声强度为1时，不同分形维数下时间序列图表2 噪声强度为1时，R/S算法估计hurst值D1.11.21.31.41.51.61.71.81.9H真0.90.80.70.60.50.40.30.20.1H估计0.83760.83090.82730
10、.82690.81070.81750.80890.79370.7713表3 噪声强度为3时，R/S算法估计hurst值D1.11.21.31.41.51.61.71.81.9H真0.90.80.70.60.50.40.30.20.1H估计0.69560.68570.73210.72810.69130.71530.69520.71220.6602表4 噪声强度为5时，R/S算法估计hurst值D1.11.21.31.41.51.61.71.81.9H真0.90.80.70.60.50.40.30.20.1H估计0.61770.64320.64080.69320.67180.64970.68440
11、.60280.6119表5 噪声强度为7时，R/S算法估计hurst值D1.11.21.31.41.51.61.71.81.9H真0.90.80.70.60.50.40.30.20.1H估计0.59600.65170.58520.63470.62500.60740.60420.62340.5834噪声强度为1,3,5,7时，R/S算法估计不同分形维数下的Hurst值如表2-5所示，图20为在不同噪声强度时，R/S算法标度与维数对应关系图20 不同噪声下，分形维数和Hurst标度估计值间关系 有噪声时，用R/S算法计算的分形维数与实际维数相差较大；信号被噪声淹没，所得的维数已严重失真。实际上，R
12、/S算法对周期和高斯噪声仅有有限的抗噪能力，对随机和脉冲噪声不具有抗噪性。第4章：课外练习作业1. 考察如下时间序列的递归图结构：(1) (2) (3) (4) 解：(1)时间序列图如图21，递归图如图22图21 时间序列图图21 递归图(2)时间序列图如图22，x递归图如图23，y递归图如图24图22 时间序列图图23 x递归图图24 y递归图(3)正弦的时间序列如图25所示，递归图如图26所示图25 时间序列图图26 正弦递归图三角波的时间序列如图27所示，递归图如图28所示图27 三角波时间序列图图28 三角波递归图(4)图29 s的时间序列图图30 s的递归图2.Lorenz混沌方程如
13、下： 式中各参数值分别为：，计算时间步长=0.01(s)，初值为。在以上的参数和初始值条件下，采用标准四阶龙格-库塔方法对生成了长度分别为： 1000、2000、5000、6000、9000、10000的非线性时间序列。延迟时间表示为=k，其中k为延迟参数，以延迟参数k 代表对延迟时间的考察。要求：(1). 根据本章讲授的延迟时间算法（线性相关法、互信息法、C-C算法），试考察各种算法计算的函数值随延迟参数k变化曲线，并讨论延迟时间算法性能。 (2). 为了考察各种延迟时间算法抗噪能力，在原始Lorenz时间序列中加入高斯噪声，即： (14)式中为叠加噪声后的时间序列，为无噪声时由Lorenz方程产生的变量时间序列， 是序列标准偏差，是高斯随机变量（满足均值为0，方差为1的独立平均分布），表示为噪声强度。在各种噪声强度下,试考察各种算法计算的函数值随延迟参数k变化曲线，并讨论延迟时间算法抗噪性能。解：(1)图31所示为不同长度下的lorenz系统时间序列 图31 不同长度时间序列线性相关法，如图32图32 不同长度序列的线性相关法(2)加入噪声后，不同噪声强度下时间序列如图33所示图33 不同噪声强度不同长度的时间序列线性相关法，如图34所示图34 加入噪声后，线性相关法
