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1、数形结合实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。一、联想图形的交点例1. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。例2. 练习：设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ） 答案C二、联想绝对值的几何意义例1、已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。因为不等式的几何意义为：
2、在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距离为，即而：函数在上单调递减，即由题意可得：三、联想二次函数例1、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为 分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设。又为偶函数，由图可知四、联想反函数的性质例1、方程的实根分别为，则= 解：令互为反函数，其图象关于对称，设 即六、联想斜率公式 例1. 例2、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。解：数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。令，则由已知有得到这个二元一次不等式组的解为内
3、的点的集合由的几何意义为过点和点的直线的斜率由此可以看出：即的取值范围是。练习： 答案D 五、联想两点间的距离公式例1、设，求证：解：不妨设，构造如图的，其中则在中，有六、联想点到直线的距离公式例1、已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。解：要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可即点到直线的距离，而 七、联想函数奇偶性例1、设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 解：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称，则奇函数可得：，则又由对称性知：同理
4、：0八、其它简单方法：例1. 解：，课后练习：1. 方程的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 不充分也不必要条件4. 若方程上有唯一解，求m的取值范围。5. 设，试求下述方程有解时k的取值范围。练习答案1. C 2. D 提示：画出的图象 情形1： 情形2： 3. A4.解：原方程等价于 令，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为3，01。 5.解：将原方程化为：， 令，它表示倾角为45的直线系， 令，它表示焦点在x轴上，顶点为（a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分， 原方程有解， 两个函数的图象有交点，由下图，知 k的取值范围为4
