《高中数学北师大版选修12精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第3课时 复数代数形式的乘除运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版选修12精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第3课时 复数代数形式的乘除运算（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第3课时复数代数形式的乘除运算1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算律进行复数的四则运算.2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算.重点:正确进行复数的四则混合运算.难点:采用适当的方法提高运算速度与准确度.两个多项式可以进行乘除法运算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数a+bi,c+di(a,b,c,dR),能像多项式一样进行乘除法运算吗?问题1:结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有哪些特点?(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实部、虚部分别合并;(2)两个复数的积仍是一个复数;(3)复数的乘法与
2、实数的乘法一样,满足交换律、结合律及分配律;(4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立.问题2:什么是共轭复数? 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数.问题3:怎样进行复数除法运算?复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个具体的复数.问题4:复数的四种基本运算法则(1)加法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:(a+b
3、i)(c+di)=+i(c+di0).高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合,统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把“数轴上的点与实数一一对应”扩展为“平面上的点与复数一一对应”.高斯不仅把复数看作平面上的点,还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.1.i是虚数单位,复数z=的虚部是().A.0B.-1C.1
4、D.2【解析】z=-i,虚部为-1,故选B.【答案】B2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1z2在复平面内的对应点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i.【答案】D3.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=.【解析】设z=bi(bR),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得解得b=-2.所以z=-2i.【答案】-2i4.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.【解析】(法一)i(z+1)=-3+2i,z=-1=-(-3i-2)-1=1+3
5、i,故z的实部是1.(法二)令z=a+bi(a、bR),由i(z+1)=-3+2i,得i(a+1)+bi=-3+2i,-b+(a+1)i=-3+2i,a+1=2,a=1.故z的实部是1.复数代数形式的乘法运算计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.【方法指导】利用复数代数形式的加减法和乘法的运算法则进行计算,注意i的性质.【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10
6、i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-312i+31i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算与实数的运算顺序一样,对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法
7、,用乘法公式更简捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.复数代数形式的除法运算计算:(1)(1+2i)(3-4i);(2);(3)(+i)4+.【方法指导】(1)写成分式的形式,再分母实数化.(2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简,或分解因式,再做除法.(3)先展开,后化简.【解析】(1)(1+2i)(3-4i)=-+i.(2)(法一)原式=1.(法二)原式=1.(3)原式=(+i)22+=(-+i)2-=-i+i-=(-)+(-)i.【小结】进行复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可方便计算,简化运算过程,比如=-i,(1+i)2=2i,(1-i
8、)2=-2i,=i,=-i,a+bi=i(b-ai),=i,等等.运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式,比如第(2)题中的解法一.复数四则运算的综合应用已知|z|2+(z+)i= (i为虚数单位),试求满足条件的z.【方法指导】本题可设z=x+yi(x,yR),然后代入给定的方程,利用复数相等的充要条件列方程组解x,y,从而得出复数方程的解z.【解析】原方程化简为|z|2+(z+)i=1-i,设z=x+yi(x,yR),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,原方程的解为z=-i.【小结】对于此类复数方程我们一般是设出复数的代数形式z=x+yi(x,yR),然后将其代入给定方
9、程,利用复数四则运算将其整理,然后利用复数相等的充要条件来求解.计算:(1)(1-i)2;(2)(-+i)(+i)(1+i).【解析】(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=(-)+(-)i(1+i)=(-+i)(1+i)=(-)+(-)i=-+i.计算:(1);(2)+.【解析】(1)=1-i.(2)+=+=i-i=0.若关于x 的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.【解析】设x=ai(aR且a0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一个纯虚根,将其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+tai)i=0,-a2-
10、at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得故t=-3,方程的两个根为0或3i.1.复数z=(i为虚数单位),则|z|等于().A.25B.C.5D.【解析】z=-4-3i,所以|z|=5.【答案】C2.i是虚数单位,则复数+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i【解析】+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.【答案】D3.若复数z满足z(1+i)=2,则复数z=.【解析】z=1-i.【答案】1-i4.计算:+()2014.【解析】原式=+(-i)2014=-i-1.(2014年山东卷)已知a,bR,i是虚数单位.若a-i与2+bi互为共轭复数,则
11、(a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】先由共轭复数的条件求出a,b的值,再求(a+bi)2的值.由题意知a-i=2-bi,a=2,b=1,(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.【答案】D1.设z=+i,则|z|=().A.B.C.D.2【解析】先化简,再求|z|.z=+i=+i=+i,|z|=.【答案】B2.复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=-2i-i2=1-2i,对应复平面内的点为(1,-2),在第四象限.【答案】D3.复数=.【解析】=.【答案】4.规定运算
12、=ad-bc,若=1-2i,i为虚数单位,求复数z.【解析】=2z-1=1-2iz=1-i.5.复数=a+bi(i是虚数单位,a、bR),则().A.a=1,b=1B.a=-1,b=-1C.a=-1,b=1D.a=1,b=-1【解析】=-1+i,则a=-1,b=1.【答案】C6.已知复数z=,则+等于().A.0B.1C.-1D.2【解析】z=-1,所以+=1-1=0.【答案】A7.复数=.【解析】=-1=-1=-1+i.【答案】-1+i8.设x、y为实数,且+=,求x-y的值.【解析】由+=知(1+i) +(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0故解得x-y=-6.9.已知|z|=3-i+z,则复数z=.【解析】设复数z=a+bi(a,bR),=a+3+(b-1)i,z=-+i.【答案】-+i10.设a,b为共轭复数,且(a+b)2-3abi=4-12i,求a,b的值.【解析】设a=x+yi,b=x-yi,(x,yR).代入原方程得4x2-3(x2+y2)i=4-12i,由复数相等的充要条件得解得或故或或或
