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1、高二数学复习讲义导数及其应用知识归纳1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）
2、求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3几种常见函数的导数: ; ; ; .4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个
3、函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y| u|5.单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；6.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的值(a)、(b)；将函数 的各极值与
4、(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。高考题型1.导数定义的应用2BCAyx1O34561234例1 (北京高考）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为， _ 解：由图可知，根据导数的定义知例(重庆高考)已知函数,其中，（）略，（）若且，试证：解：，易知故， 所以解得2. 利用导数研究函数的图像例3 （安徽高考）设b,函数的图像可能是 解：，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负故选C或当时，当时，选C点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.3.利用导数解决函数的单调性问题例5（全国高考）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内
5、是减函数，求的取值范围解：（1）求导得当时，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减， 递增。（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得点评：函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法本题也可以由函数在上递减，所以求解【变式1】（ 全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围解：，令得或，结合图像知，故点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解【变式2】（ 浙江高考）已知函数 若函数在区间上不单调，求的取值范围解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根又，由，得。从而或解得或所以的取值范围是点评：这种
6、逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6 （江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A或 B或 C或 D或解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点【变式】（ 辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ） ABC D解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为
7、，又，设点的横坐标为，则，解得，故选5. 利用导数求函数的极值与最值例7（天津高考）已知函数（），其中若函数仅在处有极值，求的取值范围解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是6.利用导数解决实际问题例8用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为（m），则长为 (m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2
8、m，高为1.5 m导数及其应用 基础训练A组一、选择题1若函数在区间内可导，且则 的值为（ B ）A B C D 2一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（C ）A米/秒 B米/秒 C米/秒 D米/秒3函数的递增区间是（C ）A B C D 对于任何实数都恒成立4,若,则的值等于（D ）A B C D5函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ D ）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件对于不能推出在取极值，反之成立6函数在区间上的最小值为（D ）A B C D 得而端点的函数值，得二、填空题1若，则的值为_ _；2曲线在点 处的切线倾斜角为_ 3函数的导数为_；4曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为_； 5函数的单调递增区间是_ 三、解答题1求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。解：设切点为，函数的导数为切线的斜率，得，代入到得，即，。2求函数的导数。解： 3求函数在区间上的最大值与最小值。解：, 当得，或，或， ，列表: +又；右端点处；函数在区间上的最大值为，最小值为。4已知函数，当时，有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小值。解：（1）当时，即（2），令，得
