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1、均质杆AB，长，重P，用铰A与均质圆盘中心连接。圆盘半径为，重Q，可在水平面内作无滑动滚动。当时，杆AB的B端沿铅垂方向下滑的速度为，求此刚体系统在图示瞬时的动量。vAvBvCDCxyo解：AB杆的瞬心D如图所示，故其质心C的速度为往复式水泵的固定外壳部分D和基础E的质量为，均质曲柄OA长为，质量为。导杆B和活塞C作往复运动，其质量为。曲柄OA以匀角速度绕O轴转动。求水泵基础给地面的压力。解：建立坐标系，x轴水平向右为正方向，y轴竖直向上为正方向。系统中外壳D和基础E固定，曲柄OA作匀速转动，并带动导杆和活塞平动。系统的总动量为：由y方向的动量定理得： 图示凸轮机构中，凸轮半径为r、偏心距为e
2、。凸轮绕A轴以匀角速转动，带动滑杆D在套筒E中沿水平方向作往复运动。已知凸轮质量为m1，滑杆质量为m2。试求在任意瞬时机座螺栓所受的动反力。 xyNFM解：取凸轮、滑杆和机座组成的系统为研究对象。由于只求动反力，故不考虑重力，受力图如图示。凸轮质心的加速度为：滑杆质心的加速度为： 由质系动量定理得：所以：图示小球P沿大半圆柱体表面由顶点滑下，小球质量为，大半圆柱体质量为，半径为R，放在光滑水平面上。初始时系统静止，求小球未脱离大半圆柱体时相对图示静止坐标系的运动轨迹。 解：根据题意，视小球为质点，大半圆柱体作平动。系统在水平方向动量守恒。设小球水平方向的位移为，竖直方向的位移为，则大半圆柱体质
3、心在水平方向的位移为，由图示几何关系，有， 化简为， 即小球运动轨迹为一椭圆。图示系统中，物块A的质量为m，小车B的质量为M，弹簧刚度系数为k，斜面光滑。不计轮子的质量，试建立系统的运动微分方程。xs解：取系统为研究对象。系统具有两个自由度，取x和s为广义坐标，其中s的原点取在物块A的静平衡位置处。系统在水平方向不受力，故由动量定理在x方向的投影式得：再取物块A为研究对象，列写牛顿第二定律在s方向的投影式，得： 将两式整理后得：两质量都等于M的小车，停在光滑的水平直铁轨上。一质量为m的人，自一车跳到另一车，并立刻自第二车跳回第一车。证明两车最后速度大小之比为M：(M+m)。 解：根据题意，这系
4、统（人和两小车）在水平方向上动量守恒。设最终状态两车的速度大小分别为，则由动量守恒定理知 于是，两车最后的速度大小之比为 如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为；C、A、B三点在同一铅直线上。 (1). 当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。(2). 当轮子又滚又滑时，若和已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。 解：（1）轮子只滚不滑时轮子的动量为：对地面上B点的动量矩，利用，投影后为：故有：（2）轮子又滚又滑时轮子的动量为：对地面上B点的动量矩：水平圆盘可绕铅垂轴z转动，如图所示。其对z轴的
5、转动惯量为。一质量为m的质点，在圆盘上作匀速圆周运动，圆周半径为，速度为，圆心到盘心的距离为。开始运动时，质点在位置A，圆盘角速度为零。试求圆盘角速度与角间的关系。轴承摩擦略去不计。 解：取圆盘连同其上的质点作为一个系统，此系统对于z轴动量矩守恒。系统在初始时刻对z轴的动量矩为：系统在任意时刻对z轴的动量矩为：其中：由 LO1 = LO2 得：图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50 kg和100 kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，求刚释放时铰链O处的约束力和杆EC在A处的弯矩。不计铰链摩擦。 解：1. 计算刚释放时铰链O的约束力，由定轴转动运动微分方程得：其中， 故有由
6、质心运动定理 2 求杆EC在A处的弯矩取杆OA为研究对象，将其惯性力系向O点简化，受力图如图示，其中惯性力S和惯性力偶矩分别为 对A点列写力矩平衡方程解得 解得： 匀质滚子的质量为m，半径为R，放在粗糙的水平地板上，如图所示。在滚子的鼓轮上绕以绳，在绳子上作用有常力，作用线与水平方向夹角为。已知鼓轮的半径为，滚子对轴O的回转半径为，滚子由静止开始运动。试求滚子轴O的运动方程。6-10解法一：列写刚体平面运动微分方程补充运动学方程：联立求解，得：将上式积分两次，并考虑到滚子初始静止，得：图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道纯滚动。绳子跨过定滑轮D并绕在滑轮B上
7、。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为，二者总质量为M，其对与图面垂直的轴O的回转半径为。求重物A的加速度。 解：重物A作平动，滚子C作平面运动。分别取重物A和滚子C为研究对象，列出其运动微分方程。对重物A 对滚子C滚子只滚不滑取O为基点，分析E点的加速度联立求解图示匀质圆盘的质量为，半径为，与地面间的动滑动摩擦系数。若盘心O的初速度，初角速度，试问经过多少时间后球停止滑动？此时盘心速度多大？ 解：圆盘作平面运动，运动微分方程为由于圆盘又滚又滑，故有,(1) 求经过多少时间后盘停止滑动。盘停止滑动的条件是由初始条件可得t时刻, (2) 求此时盘心的速度图示匀质细长杆A
8、B，质量为，长度为，在铅垂位置由静止释放，借A端的小滑轮沿倾角为的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。 解：系统作平面运动，列写运动微分方程:需补充运动学约束条件：y方向投影式：联立求解得：CgmANBA? ?Aa?Cx?Cy?rta?ABNAmgC?Aa?Cx?Cy?rta? 在光滑的水平面上平放着一半径为a、质量为M的圆环。环上有一质量为m的甲虫，原来静止，后甲虫沿圆环爬行，求甲虫和圆环中心的轨迹。解：设甲虫的运动速度为，圆环的运动速度为，系统质心速度为，由动量守恒得：所以系统质心速度为0。以圆环中心为原点，圆环中心和甲虫的连线为轴建立坐标系，由系统质心计算可得：即
9、若圆环圆心不动，则系统质心的轨迹随甲虫爬动为一半径为的圆。现在系统质心不动，则圆环圆心的运动轨迹即为一半径为的圆。同理，甲虫的运动轨迹为一半径为的圆。答：设系统质心为O，则圆环中心的轨迹为一圆，圆心在O，半径为；甲虫的轨迹为一圆，圆心在O，半径为。均质的空心球壳和实心圆球，沿着同一斜面自同一高度同时无初速无滑动地下滚，问哪个球滚得快一些？证明：它们经过相等距离所需的时间之比为5：。证明：本问题中球体具有一个自由度，取为广义坐标。其受力图如题中所示。由刚体平面运动微分方程得到： （1） （2） （3）由纯滚动，补充运动学方程： （4）对，方程（1）（4）中分别为球壳和圆球的运动方程。联立四个方程
10、得到：对于球壳和圆球有：， 从而，即实心圆球比空心球壳下降得快。由于球沿斜面的加速度为常数，初始速度为零，因此。经过相等的距离所需时间之比为：即证。球1速度，方向与静止球2相切，如图所示。两球半径相同、质量相等，不计摩擦。碰撞的恢复系数。求碰撞后两球的速度。解：两球碰撞时位置如图所示，将两球碰撞前后的速度向两球接触面的公法线和切线上投影，设碰撞后两球的速度为和，则法向分量记为，切向分量记为。由几何关系知，故。碰撞前后质系在法向上动量守恒，两小球各自在切向上动量守恒，因此两球碰撞的动力学方程为： （1） （2） （3）由(2)(3)可解出：，又根据恢复系数有： （4）（1）、（4）式联立解得：即
11、：，。质量为的球以水平方向的速度打在一质量为的匀质木棒上，木棒的一端用细绳悬挂于天花板上。若恢复系数为0.5，试求碰撞后木棒两端A、B的速度。 解：设碰撞后小球的速度为，木棒质心C点的速度为，其角速度为。取整体系统为研究对象，设球与杆的撞击点为D，绳的上方悬挂点为O。系统对O点的动量矩守恒，且在水平方向动量守恒，即补充运动学方程：恢复系数的定义：联立求解得：从而木棒两端A、B的速度分别为：匀质杆长为，质量为，在铅垂面内保持水平下降并与固定支点E碰撞。碰撞前杆的质心速度为，恢复系数为。试求碰撞后杆的质心速度与杆的角速度。解：杆在碰撞前作平动，碰撞后作平面运动。受力图如图示。列写平面运动动力学方程
12、，得：由恢复系数的定义，得：联立求解得：质量为的直杆A可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为，倾角为的光滑楔子B上，楔子放在光滑的水平面上，由于杆子的重量，楔子沿水平方向移动，杆下落，如图所示。求两物体的加速度大小及地面约束力。解：系统为一自由，取整体系统为研究对象。由运动学关系得 系统的动能为力系的元功为由 得 分别对A杆和B块进行受力分析 根据动量定理，对于A杆 （1）对于B块 （2）联立（1）和（2）得质量为的小车B上有一质量为的重物A，已知小车在的水平力P作用后移过。不计轨道阻力，试计算A在B上移过的距离。解：已知，。由质点运动学公式有若将小车B和质量A看作一个系统，在水平方向，由质系动量定理于是这样则A在B上移过的距离如图所示，水平面上放一均质三棱柱A。此三棱柱上又放一均质三棱柱B，两三棱柱的横截面都是直角三角形，三棱柱A比三棱柱B重两倍。设三棱柱和水平面都是绝对光滑的。（1）试列写系统运动微分方程（2）求当三棱柱B沿三棱柱A滑至水平面时，三棱柱A的位移s；（3）求水平面作用于三棱柱A的反力。解：取水平向右为轴正方向，系统具有两个自由度，取A的绝对位移和B的相对位移为广义坐
