三角形内外角平分线定理

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1、三角形内角与外交平分线定理一、内角平分线定理已知：如图所示，AD是厶ABC的内角ZBAC的平分线。求证：BA/AC=BD/DC;思路1：过C作角平分线AD的平行线。证明1：过C作CEDA与BA的延长线交于E。则：BA/AE=BD/DC;/ZBAD=ZAEC；（两线平行，同位角相等）ZCAD=ZACE；（两线平行，内错角相等）ZBAD=ZCAD；（已知）ZAEC=ZACE；（等量代换）AE=AC；BA/AC=BD/DC。结论1：该证法具有普遍的意义。引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。在ABC中，若AD为BAC的思路2：利用面积法来证明。平分线，则:AC=

2、cd已知：如图8-4乙所示，AD是AABC的内角ZBAC的平分线。求证：BA/AC=BD/DC证明2：过D作DE丄AB于E，DF丄AC于F；ZBAD=ZCAD；（已知）DE=DF；/ba/ac=sAbad/sAdac；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=SBAD/SABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）BA/AC=BD/DC结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。二、外角平分线定理已知：如图所示，AD是厶ABC中ZBAC的外角ZCAF的平分线。求证：BA/AC

3、=BD/DC思路1：作角平分线AD的平行线。证明1：过C作CEDA与BA交于E。贝V：BA/AE=BD/DC/ZDAF=ZCEA；（两线平行，同位角相等）ZDAC=ZECA；（两线平行，内错角相等）ZDAF=ZDAC；（已知）ZCEA=ZECA；（等量代换）AE=AC；BA/AC=BD/DC。结论1:该证法具有普遍的意义。引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例求证：BA/AC=BD/DC.证明2：过D作DE丄AC于E,DF丄BA的延长线于F；JZDAC=ZDAF；（已知）DE=DF；/BA/AC=SBAD/DAC；（等高时，三角形

4、面积之比等于底之比）BD/DC=SBAD/DAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）BA/AC=BD/DC结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看BAD和ADAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底,而高是同高在ABC中，AD为ZA的外角CAE的平分线，359.在ABC中，AD是ABC的平分线，55AB-AC=5,BD-CD=3,DC=8，则AB=33.RtABC中,B=90，,AB=12,BC=5,DE丄AC于E,AD15D在AB边上,且A=1,则DE=AC333.如图、在ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.图3.1-8