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1、函数中的对称问题 - 深圳梅林中学15606读书以过目成诵为能，最是不济事。郑板桥数学竞赛培训资料函数中的对称问题函数的对称问题是历年高考热点内容之一，而这类问题涉及的基本方法和常见题型，教材中并没有系统研究。现结合高考试题，详介如下：一 一些常见的结论1 奇函数的图象关于原点对称。2 偶函数的图象关于y轴对称。3 互为反函数的图象关于直线y=x对称，特别地：若f(a)=b，则f1(b)=a。4 函数y=Asin(x+)与y=Acos(x+)既是中心对称图形，又是轴对称图形。其对称中心是图象与x轴的交点，对称轴是过最值点且垂直于x轴的直线。5 函数y=f(x) (xR)的图象关于x=a对称f(
2、ax)=f(a+x)f(x)=f(2ax)。6 设函数y=f(x) (xR)，则y=f(a+mx)与函数y=f(bmx)的图象关于直线x=对称。（对称直线方程可简记为a+mx=bmx）。7 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)图象关于直线x=对称。二 应用1 与奇函数有关的对称问题例1如果奇函数f(x)在区间上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间上是：（A） 增函数且最小值为5； （B）增函数且最大值为5；（B） 减函数且最小值为5； （D）减函数且最大值为5；2 与偶函数有关的对称问题例2（1998年）函数y=a|x| (a1) 的图象是： y y y y 1 1 1 x x x
3、x A B C D 3 原函数、反函数之间的对称问题例3（1993年）设f(x)=4x2x+1 (x0)，则f1(0)=例4（1997年）将y=2x的图象A先向左平行移动1个单位； B。先向右平行移动1个单位；C先向上平行移动1个单位； D。先向下平行移动1个单位；再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x+1)的图象。例5（1998年）设函数f(x)=(x0)，求其反函数f1(x)的表达式。4 三角函数的对称问题例6（1991年）函数y=sin(2x+)的图象的一条对称轴的方程是Ax= B. x= C. x= D. x=例7（1994年）如果函数y=sin2x+acos2x的图象
4、关于直线x=对称，那么a=( )A. B. C. 1 D. 15二次函数的对称问题例8（1992年）如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2t)，那么A. f(4)f(2)f(1) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(2)f(1)f(4)6分段函数的对称问题例9（1991年）设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，当x1时，y=x2+1，则当x1时，y=7抽象函数的对称问题例10（1996年）设f(x)是R上的奇函数，并且f(x+2)=f(x)，若当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)等于A. 0.5 B. 0.5 C.
5、1.5 D. 1.5例11（1997）设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x1)与y=f(1x)的图象关于:A直线y=0对称 B。直线x=0对称 C。直线y=1对称 D。直线x=1对称8证明两个函数图象的对称问题例12（1988年）给定实数a，a0，a1，设函数y=)，证明这个函数的图象关于直线y=x对称。例13（1998年）设曲线C的方程是y=x3x，将C沿x轴、y轴正方向分别平行移动t，s个单位长度后得曲线C11 写出曲线C1的方程；2 证明曲线C与C1关于点A()对称。练习1 将y=f(x)的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后，得到图象C1，又C1与C2关于y轴对称，
6、则图象C2对应的函数的解析式为2 若函数f(x)=ax2+bx+c(0a1)对任意实数x，都有f(x3)=f(1x)，设m=f,n=f(2),试比较m,n的大小关系为3 若f(x)=x2+bx+a，对任意xR，都有f(1+x)=f(1x)成立，且f(x+m)在(,4上递增，则实数m的取值范围是4 若不等式ax2+bx+c0的解集为x|x2或x4，则对于函数f(x)=ax2+bx+c有A.f(5)f(2)f(1) B. f(2)f(5)f(1) C. f(1)f(2)f(5) D. f(2)f(1)f(5)5 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，对任意实数x，都有f(2x)=f(2+x)，求不等式ff的解集。6函数f(x)=2x，函数g(x)的图象与y=f1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(2)的值。 读书以过目成诵为能，最是不济事。郑板桥
