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1、答案 第 4 页 共 4 页2013年全国初中数学联赛（初三组）初试解答一、 选择题（本大题满分42分，每小题7分）1. 已知，则，的大小关系是（ ） ABC D解法一：【典型“作差法】由，得，从而，所以，又，所以故选D解法二：【特殊值法】2、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQBP，PQ交CD于Q，若APCQ2，则正方形ABCD的面积为（ ）第2题图A B16 CD32解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G易证RtEPBRtFQPRtFDP，【理由所以FQFDEP，因此正方形ABCD的边长DC=，所以面积为故选C3、若实
2、数，满足，则的取值范围是（ ）A B C D解：【典型的方程“构造主元”思想】将原等式看作为关于b的一元二次方程，故选A4、 如图，在四边形ABCD中，B=135，C=120，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（ ）AB第4题图HCD解：【典型的构造“特殊图形”，如直角三角形、梯形、矩形等等】过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，【这是构造 形，该图形的常见辅助线是 】后面的解答自己可在图形上完成： 故选B5、 方程的正整数解的组数是（ ）A0 B1 C3 D5解：【典型的对称型，可以采用“缩法法”经过验算。知道选择 A6、 已知实数满足，x第3题图FH2 x2 x3则的值是（ ）A B0
3、 C1 D2解：显然，否则由已知方程两边同乘 得即所以故选B二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1. 是正整数，x表示的正约数个数，则等于 解：，所以故填2. 草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 解：【这是一个典型的“变量多”的问题】故填963. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且，则AB的长是 【典型的“中线倍长法”，60需要构造“直角解：延长AM交DC的延长线于F，则AMBFMC【理由 设NC=x ,则CF=AB= ，则NF=
4、 ，过N作NH垂直AF于H，在RtANH中，可得AH= ，故HF=AF-AH= ，在RtNHF中，即3x = 7, AB=2x= 故填4. 小明将1，2，3，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入个数，且平均值为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是 【思路：缩放法-不等式】解：依题意得三、解答题解方程 【20分】【这是一个典型的绝对值方程-零点分段法】解：当 时，原方程可化为解得，又因为，故应舍去-10分当时，原方程可化为，解得，又因为，故应舍去所以原方程的解为和-20分四、几何题（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，CBCD，求证：第4题图ABCD【如
5、何构造“线段的平方”，联系“共边射影”定理分析：需要将四边形的对角线连接，才有三角形出现如图，连接，根据条件 CB=CD，产生弧CB=弧CD可以得到很多角等：如【理由你是否可以得到“共边BCEACB 【理由 从而得到： 【出现线段的平方】将该结论代入需要证明的等式的左边，发现：问题转化为证明： 【如何证明该等式？转比例，找相似，. 】证明：连结BD、AC交于点E CB=CD， 弧CB = 弧CD 【 理由 于是得到 【理由又 BCEACB 【理由 又 ； ABCAED 【理由 所以 五、函数、方程、不等式（本大题满分25分）已知二次函数和一次函数，其中a、b、c满足，( ) 1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B； 2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A1、B1求线段A1B1的长的取值范围【分析考点：图象的交点问题可以转化为 的解的个数问题图象在x轴上两点间的距离问题可以转化为一元二次方程两根差的绝对值问题解：
