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1、 六问等腰三角形 穷追反问留精彩 解决一个数学问题用几种不同的方法比用同一种方法做几道题更加有效.提出一个数学问题往往比解决一个问题又更加重要.怎样提出新的问题,在教学中,我经常引导学生对已经做完的题目进行反思,提出不同的问题,经常利用这种方式:如果条件增加或改变部分条件,探究未知的结论.提出适当,精彩的问题,这样能极大提高学生兴趣,合作交流的意识,培养学生分析问题和解决问题的能力,逐步增强学生的批判精神和独立思考的习惯.下面我以在复习有关等腰三角形判定,性质及运用时,引导学生穷追反问而使问题精彩纷呈,解决问题精妙绝伦.在复习等腰三角形判定时,我选用了习题中的一个问题:过三角形一边上两点向对边
2、做高线且相等,则这个三角形为等腰三角形.学生很快画出图形,写出已知,求证并且完成证明.已知: BD,CE是ABC的高线,且BD=CE 求证: ABC是等腰三角形 思路分析: 证RTBEC RTCDB(HL) 或ADBAEC(AAS) 由于学生已经知道全等三角形对应边上的高线,中线,角平分线对应相等.已经掌握了等腰三角形两腰上的高线,中线,角平分线也对应相等.启发学生运用迁移理论,类比观点,问可以将本题中的高线改成什么线,如何证明?是否还是和本题类似,证明简单?学生很快提出了下面的两个问题,将高线改为中线,角平分线,结论依然成立,但是证明带给他们从未有过的挑战.也许正是这种触手可及的幸福和遥不可
3、及的征途使他们喜欢思考,勇于挑战, 乐在其中. 穷追反问,将精彩创造. 一问: 过三角形一边上的两点向对边做中线且相等,则这个三角形是等腰三角形 已知: BD,CE是ABC的中线, 且BD=CE 求证: ABC是等腰三角形 思路: 由题知,DE为ABC的中位线,得到EDBC,ED=BC 得出EODCOB 得出相似比为,并且OC= EC，OB= BD ，从而OB=OC，推出 1=2，再利用 EBC DCB（SAS），可得出ABC = ACB，所以 AB=AC 问题虽然类似，但证明方法确有很大的不同，改变了学生想当然的想法，引起了学生极大的兴趣，都有跃跃一试的冲动。此时借势抛出二问：过三角形一边上
4、的两点向对边做角平分线且他们相等，则三角形为等腰三角形。已知：BD,CE是ABC的角平分线, 且BD=CE 求证: ABC是等腰三角形 说明：这个问题是1840年莱默斯在给斯图姆的一封信中提到的，他请求给出一个纯几何学的证明，斯图姆未能找到这样的证明，就向许多数学家求助，首先给出证明的是瑞士几何学家施泰纳，所以该定理以施泰纳-莱默斯定理闻名于世。在1965年的一篇综合报道中提到该定理大约有60多种证法，现有证法则更多。其中有一种反证法新颖，别致，简捷，本质。 证明：在三角形中，不妨设ABCACB，BD,CE是ABC的角平分线，ABD=ABCACB=ACE，则可在CE上取点F，使FBD=ACE，
5、连接BF交AC于M，由图知，CFCE=BD，又1=1MBDMCF，从而=11，MBMC，在MBC中 ，根据大边对大角，可得ACBMBC即 ACBMBD+DBC，又已知DBC=ABC，又MBD=ACE=ACBACBACB+ ABC 2ACBACB+ABC，ACBABC再由假设ABCACB，即ABC=ACB AB=AC 即ABC是等腰三角形。 这时我我继续引导学生能否适当改变一下条件，结论仍为等腰三角形。此时学生非常兴奋，一种挑战的欲望油然而生。但同时我告戒学生，要对问题的可行性进行论证，用批判的精神看待所提出的问题，由此引出：三问：如图，在ABC中，BD，CE，相交于O，交AB于E，DEBC，B
6、D=CE，求证： ABC是等腰三角形分析：同一问类似EODCOB得出相似比为K，即=K，运用比例性质得到OB= ，OC= 又BD=CE OB=OC，得到1=2，再利用全等即可得证。四问： 已知，如图ABC，BD=CE，AD=AE 求证：ABC是等腰三角形 分析：直接用全等证明似乎缺少条件，结合条件，引导学生用正弦定理，在AEC与ADB中，=，=，又AD=AE,BD=CE可以得出Sin1=Sin2,所以1=2，再利用ABDACE(AAS) 即可。 学生在问题的诱导下，似乎找到了秘密，学生很快找到其他几种情形下可以得到三角形为等腰三角形，简单问题不在列举，但有位同学的想法很大胆，将四问中该变部分条
7、件，引出五问：已知，如图ABC，AD=AE，OB=OC 求证：ABC是等腰三角形通过引导学生画图，能肯定猜想成立，在如何证明上，一旦思考起来困难重重，借鉴其他几问的启示，发散思维，宽角度，正反思考，别出心裁。 证明：由上题知:若BE=CD,又AD=AE由上面的四问知,则AB=AC. 假设BECD(BECD方法一样)时,又OB=OC则OEOD在OE上取点F,使得OF=OD,又OB=OC,容易证明四边形DBCF为等腰梯形, BDF=CFD,又由条件知AD=AEADE=AED, BDE=DEC 再由三角形外角性质CFD=BDF=BDE-EDF CFD=DEC+EDF+ECD=BDE+EDF+ECD
8、比较知,得-EDF=EDF+ECD,这是不可能的,故假设BECD不成立,同理, BECD也不成立,这样只能BE=CD,由四问已经证明,故得证.不同的条件,不同的问题,多样的方法,极大的触动了学生,丰富了他们的思维,激发了他们不断探索的兴趣.学生的想法丰富多彩,他们的穷追反问使问题精彩纷呈,解法更是秒处横生.索性,我与学生们一起将沙锅打破,改变其中两条线的位置,问题依旧,给出适当的.精彩的条件, ABC是等腰三角形.直接易证的不在此举列,在讨论争鸣中,产生了六问,但证明让学生感受到了从未有过的困难,又感觉如此的简单,在触手可及的幸福和遥不可及的攀登中,感受数学无限魅力!六问: 已知,如图, AB
9、C,D,E在BC上,BD=CE, 1=2, ABC是等腰三角形学生几乎用尽了所有的条件,想到可能的结果,但似乎总感觉少了一个条件.最后提醒学生证明线段相等的所有可能方法,能否利用圆周角来证明.证明: 作ABC的外接圆,延长AD,AE交圆于G,H 1=2BAE=CAD,推出GC=BH,又BCG=1=2=CBH,同时BD=CE,推出BE=CD, 综上可知, DCGEBH(SAS),推出G=H,推出AB=AC,故得证.正当学生感叹知识无处不在,引导学继续迁移,联想往往能绝处封生,我提示能否用面积法,根据等底等高和S=abSinC来证明.证明:设AB=x,AC=y,AD=a,AE=b,根据等底等高,面积相等的性质 BD=CE, SABD=SACE, axSin1=bySin2又BD=CE,推出BE=CD,SABE=SACD, bxSin BAE= ay SinCAD 又1=2,得到BAE=CAD ,由知ax=by ,bx=ay ,结合 得, abx2=aby2,y 又x,y 为正数, x=y,故得证. 在提出问题,猜想判断,解决问题的过程中,要引导学生的质疑精神,激发他们的思考,运用类比,联想,迁移.分析,综合,转化等数学思想与手段,让这种穷追反问成为一次次难忘的思维旅行,开阔眼界,提高认识,培养兴趣,享受成功.体验数学魅力,让学生穷追反问,老师巧妙引导,将精彩创造! 2
