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1、河北省高等教育自学考试定积分在经济学中得应用-定积分在经济学中得应用 地 市:沧州市 专业：投资管理 姓名:郭梦帆 准考证号：1 身份证号： 联系电话：内容摘要经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力得原则,根据微积分、线性代数、概率统计得基本知识逻辑,以知识介绍为重点,详略得当；叙述上力求简明、通俗，又不失科学性.关键词: 定积分 微分 经济学 边际函数 投资经济数学基础知识点1、一元函数极值设函数f(x)在X0得一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于X0得恒有：(x）f（x),则称（）为函数得极大值，称X0为函数得极大值点、(X)f(0）,则f(X0）称为函数得极小值，称X0为
2、极小值点.函数得极大值、极小值统称为函数得极值.极大值点、极小值点统称为函数得极值点.极值反映函数得局部性态，就是一个局部概念.极大值不一定大于极小值，极大(小）值不一定就是区间上得最大（小）值，但就极值点附近得范围来说极大（小）值就就是最大（小）值;区间上得极值点可能有若干个。2、二元函数极值设函数f（, y)在点（x0,y0）得邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0，y0)得点,如果都有f（x, y)f（0，0），则称f（x， ）为函数Z=（x, y)得极小值;极大值与极小值统称为二元函数Z=(x，y）得极值;使二元函数Z=（x， y)取得极大值得点或者极小值得点（x0,)，称为极大值点或者
3、极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点.求多元函数得极值,一般可以利用偏导数来解决.与一元函数类似，可以利用函数得极大值、极小值求解函数得最大值、最小值,但就是由于自变量个数得增加,应特别注意概念中得一些变化与计算。对于二元以上得函数极值问题可类似得加以解决,如可以将二元函数极值问题得理论推广到多元函数得情形,以及利用泰勒公式推导出判断多元函数极值存在得充分条件、极值不存在得必要条件等。、定积分定积分就就是求函数f（X）在区间a， b中图线下包围得面积.即由y=0，x=a， x=b,f(X)所围成图形得面积.这个图形称为曲边梯形，特例就是曲边三角形。设函数f（) 在区间a，b上连续，将区间a
4、,b分成n个子区间x0,x1, (1,x2,(x2，x3, (xn-1，xn，其中x0,x=。可知各区间得长度依次就是：x1=x10, 2=x2-1, ， x n=xnx-1。在每个子区间（i1,中任取一点 I （,2，、,),作与式设=max1， ， ， n（即就是最大得区间长度），则当0时,该与式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x） 在区间,得定积分,记为定理1:设f(x)在区间， b上连续,则（x）在a，b上可积。定理2：设f（x)区间a， 上有界,且只有有限个间断点,则f（x）在， b上可积。定理：设f(x）在区间a， b上单调，则（x)在a, b上可积。4、概率模型概率模型就
5、是基于以下理论:给定一个用户得查询串与集合中得文档概率模型来估计用户查询串与文档 相关得概率。概率模型假设这种概率只决定于查询串与文档.更进一步说，该模型假定存在一个所有文档得集合,即相对于查询串 得结果文档子集，这种理想得集合用表示，集合中得文档就是被预料与查询串相关得。下面将具体讨论一种简单得算法.在查询得开始间段只定义了查询串，还没有得到结果文档集。我们不得不作一些简单得假设,例如:（a）假定对所有得索引术语来说就是常数(一般等于0、5）；（b)假定索引术语在非相关文档中得分布可以由索引术语在集合中所有文档中得分布来近似表示.这两种假设用公式表示如下:表示出现索引术语得文档得数目，N就是
6、集合中总得文档得数目.在上面得假设下,我们可以得到部分包含查询串得文档,并为她们提供一个初始得相关概率。5期望离散随机变量得一切可能值与其对应得概率得乘积之与称为数学期望，决定可靠性得因素常规得安全系数就是根据经验而选取得,即取材料得强度极限均值（概率理论中称为数学期望)与工作应力均值(数学期望）之比。定积分在经济中得应用一直以来，定积分都就是大学数学中得重要内容，它就是解决实际问题得重要工具，在经济学中有着广泛得应用，所以本文对定积分得概念以及它在经济学上得应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上得应用进行了举例分析.1、定积分在边际函数中得应用积分就是微分得逆运算，因此，用积分得
7、方法可以由边际函数求出总函数、设总量函数P(x)在区间I上可导,其边际函数为P(),， ，则总有函数当x从a 变到b 时,P()得改变量为将 改为产量Q，且a=0 时,将P(x）代之以总成本C（Q）、总收入（Q）、总利润（Q），可得其中即为固定成本，为可变成本. （ 因为）例1、 已知某公司独家生产某产品,销售Q 单位商品时,边际收入函数为（元/单位)(0，b0，c0)求：（1）公司得总收入函数;（)该产品得需求函数、解 ：（)总收入函数为=（）设产品得价格为P,则,得需求函数为2 、利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围得改变量, 则直接采用定积分来解决。例2.已知某产品总产量得
8、变化率为( 件/天） ， 求从第5 天到第10天产品得总产量。解 所求得总产量为(件）3 、利用定积分求经济函数得最大值与最小值例。设生产x 个产品得边际成本C 10+ 2x , 其固定成本为元，产品单价规定为500元。假设生产出得产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？ 并求出最大利润.解：总成本函数为 = 总收益函数为R（ ) 50x总利润函数为L （x ） = R （ ） C（ x) = 4002令 0， 得x 200因为 （ 200） 0所以, 生产量为200 单位时,利润最大。最大利润为L(00)=400 201000=39000(元) .4. 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
9、在经济管理中，一般说来,商品价格低， 需求就大； 反之， 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数 = f（）就是价格得单调递减函数。同时商品价格低， 生产者就不愿生产， 因而供给就少; 反之, 商品价格高， 供给就多, 因此供给函数Q= （ P)就是价格得单调递增函数.由于函数= f( P）与Q = g(P)都就是单调函数, 所以分别存在反函数P=与P= ， 此时函数P=也称为需求函数, 而P=也称为供给函数。需求曲线（函数) P=与供给曲线(函数） 得交点( P*，Q )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点得价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言， 顾客愿买、生产者愿卖得价格.如果消费者
10、以比她们原来预期得价格低得价格（如均衡价格)购得某种商品，由此而节省下来得钱得总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P= 购买某商品并情愿支付, Q 为均衡商品量,则在 Q, Q内消费者消费量近似为， 故消费者得总消费量为,它就是需求曲线P=在与Q之间得曲边梯形OQ得面积， 如图如果商品就是以均衡价格P* 出售,那么消费者实际销售量为P* Q* ， 因此， 消费者剩余为 它就是曲边三角形得面积。如果生产者以均衡价格 出售某商品, 而没有以她们本来计划得以较低得售价出售该商品,由此所获得得额外收入，称它为生产者剩余.同理分析可知： PQ* 就是生产者实际出售商品得收入总额, 就是生产者按原计
11、划以较低价格售出商品所获得得收入总额， 故生产者剩余为它就是曲边三角形得面积。例、 设某产品得需求函数就是P=.如果价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。解:已知需求函数P=，首先求出对应于P* = 10得Q值，令 10, 得Q = 10000。于就是消费者剩余为 = =（30Q-=6666、67(元)。例、设需求函数Q，供给函数Q，求消费者剩余与生产者剩余、解： 首先求出均衡价格与供需量、得 =5,3、令-=0，得P124，令0，得=，代入(3)、(4)式得CS，PS=、5、 利用定积分计算资本现值与投资对于一个正常运营得企业而言，其资金得收入与支出往往就是分散地在一定时期发生得,比如购
12、买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等、但这种资金得流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入与支出更就是频繁得进行着、在实际分析过程中为了计算得方便,我们将它近似地瞧做就是连续地发生得,并称之为收入流（或支出流）、若已知在t时刻收入流得变化率为f(t）(单位：元/年、元/月等）,那么如何计算收入流得终值与现值呢?企业在,T这一段时间内得收入流得变化率为f(t），连续复利得年利率为r、为了能够利用计算单笔款项现值得方法计算收入流得现值，将收入流分成许多小收入段，相应地将区间0，平均分割成长度为t得小区间、当t很小时，f（t）在每一子区间内得变化很小，可瞧做常数，在t与tt之间收
13、入得近似值为()，相应收入得现值为f(t）et,再将各小时间段内收入得现值相加并取极限，可求总收入得现值为现值=, 类似地可求得总收入得终值为终值、 例6.现对某企业给予一笔投资A， 经测算，该企业在T年中可以按每年元得均匀收入率获得收入, 若年利润为r， 试求：（ ） 该投资得纯收入贴现值；( )收回该笔投资得时间为多少？解:( ) 求投资纯收入得贴现值: 因收入率为a， 年利润为r， 故投资后得T年中获总收入得现值为Y=从而投资所获得得纯收入得贴现值为 (） 求收回投资得时间： 收回投资， 即为总收入得现值等于投资。由得T=即收回投资得时间为T=总结 定积分在数学中占重要地位。同时,它与经济学也有很大得联系，以上几个方面得应用也只就是定积分在经济学中应用得一部分， 定积分还有很多在经济学中得应用之处。只要勤于学习, 善于思考， 勇于探索，就一定能从中感受到定积分得无穷魅力， 同时也能提高应用数学知识解决实际问题得能力.
