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1、第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2了解空间向量的基本定理； 3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
2、1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。B CO A说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率 加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的
3、有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（）、，的充要条件是存在实数使（1）对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为 |，当0时与同向，当0时与反向的所有向量。（3）若直线l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 其中向量叫做直线l的方向向量。在l上取，则式可化为
4、 当时，点P是线段AB的中点，则 或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作。注意：向量与直线a的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x
5、、y，使或对空间任一定点O，有在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又代入，整理得 由于对于空间任意一点P，只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5空间向量基本定理：如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使说明：由上述定理知，如果三个向量、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量
6、、生成的，所以我们把，叫做空间的一个基底，都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，则角AOB叫做向量与的夹角，记作ABO（1）说明：规定0,因而=；如果=，则称与互相垂直，记作；ABO（2）在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、
7、（2）中的两个向量的夹角不同，图（1）中AOB=，图（2）中AOB=,从而有=.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。ABl即=，向量:（4）性质与运算率。 =0 = （三）典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1、有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 解析：对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以错误。正确。题型2
8、：空间向量的基本运算例2、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ） 解析：显然；答案为A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。例3、已知：且不共面.若,求的值.解：,且即又不共面,点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。例4、底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.证明：记则,共面.B1平面C1BD, AB1/平面C1BD.（四）强化巩固导练1、已知正方体
9、ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求xy的值.解：易求得2、在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是( A )。ABCDA1C1B1A-abc Babc Ca-bcD-a-bc3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大是 。 解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。（五）、小结：1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用abab0进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明 2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表
10、相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果 3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos 4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则.5设平面的一个法向量为，点P是平面外一点，且Po，则点P到平面的距离是d.（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4 B组中3课外练习：课本P39页A组中8 ；B组中3； 复资P130页变式训练中1、2、3、5、6五、教学反思：
