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1、完好版初高数学连接第一讲数与式运算第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式它们拥有实数的属性，能够进行运算在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完好平方公式），并且知道乘法公式能够使多项式的运算简单由于在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完好平方公式、立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的状况，但在初中却没有波及，因此本节中要补充
2、鉴于同样的原因，还要补充“繁分式”等相关内容一、乘法公式【公式1】(abc)2a2b2c22ab2bc2ca证明：(abc)2(ab)c2(ab)22(ab)cc2a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ca等式建立【例1】计算：(x22x1)23解：原式=x2(2x)123(x2)2(2x)2(1)22x2(2)x2x2121(2x)333x422x38x222x1339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式2】(ab)(a2abb2)a3b3(立方和公式)证明:(ab)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3b3说明:请同学用文字语言表述公
3、式2.【例2】计算：(ab)(a2abb2)解：原式=a(b)a2a(b)(b)2a3(b)3a3b3我们获取：【公式3】(ab)(a2abb2)a3b3(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的差异与联系，公式1、2、3均称为乘法公式【例3】计算：1（1）(4)(164mm2)（2）1m11m2112)m(n)(mnn5225104（3）(a2)(a2)(a44216)（4）(x22xyy2)(x22)2axyy解：（1）原式=43m364m3（2）原式=(1m)3(1n)31m31n3521258（3）原式=(a24)(a44a242)(a2)343a664（4）原式=(xy)2(x2x
4、yy2)2(xy)(x2xyy2)2(x3y3)2x62x3y3y6明：（1）内行代数式的乘法、除法运算，要察代数式的构能否足乘法公式的构（ 2）了更好地使用乘法公式，住1、2、3、4、20的平方数和1、2、3、4、10的立方数，是特别有好的【例4】已知x23x10，求x31的x31解：x23x10x0x3111x1)(x21(x)22原式=(xx2)(xx33(33)18xx明：本若先从方程x23x10中解出x的后，再代入代数式求，算本是依照条件式与求式的系，用整体代的方法算，化了算注意整体代法本的解法，体了“正反”的解策略，依照求利用知，是理智之【例5】已知abc0，求a(11)b(11)
5、c(11)的bccaab解：abc0,abc,bca,cab原式=abcbaccabbcacaba(a)b(b)c(c)a2b2c2bcacababca3b3(ab)(ab)23abc(c23ab)c33abca3b3c33abc，把代入得原式=3abc3abc明：注意字母的整体代技巧的用引申：同学能够研究并明：a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)2二、根式式子a(a0)叫做二次根式，其性质以下：(1)(a)2a(a0)(2)a2|a|(3)abab(a0,b0)(4)bb(a0,b0)aa【例6】化简以下各式：(1)(32)2(31)2(2)(1x)2(2x)2(x1)
6、解：(1)原式=|32|31|23311(2)原式=|x1|x(x1)(x2)2x3(x2)2|1)(x2)1(1x2)(x说明：请注意性质a2|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类谈论【例7】计算(没有特别说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)33(2)11(3)2xx38x2ab2解：(1)原式=3(23)3(23)6333)(23)223(2(2)aba2bab2原式=abab(3)原式=22xxx2222x2xxx22x32xxx22说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式(2) 二次根式
7、的化简常有种类有以下两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，此后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如3(如)或被开方数有分母23x)这时可将其化为a形式(如x可化为x)，转变成“分母中有根式”的状况化简时，2b22要把分母中的根式化为有理式，采用分子、分母同乘以一个根式进行化简(如3化为3233(23)，其中23与23叫做互为有理化因式)(23)(23)【例8】计算：(1)(ab1)(1ab)(ab)2(2)aaaaabab解：(1)原式=(1b)2(a)2(a2abb)2a2ab2b1(2)原式=aa11b)a(ab)ababa(a(ab)(ab)2a(ab)(ab)ab说明：有理数的的运算法例都合用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【例9】设x23,y23，求x3y3的值232323(23)2743,y743xy14,xy1解：x32232原式=(xy)(x2xyy2)(xy)(xy)23xy14(1423)2702说明：相关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可
