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1、谈运算求解能力的培养一个统计数据文【1】中表3 理科各大题的相关数据（抽样统计的结果）题号 平均分 标准差 难度16 10.22 3.33 0.8517 10.17 3.35 0.7818 5.84 3.89 0.4519 2.53 3 0.1820 1.6 1.94 0.1121 0.56 0.91 0.04这表明一个事实2011年广东省高考数学题难！一次特别测试时间：2011年9月8日下午四点四点半地点：中山一中数学竞赛课室测试内容：2011年广东省高考数学第21题参加学生：中山一中高二、高三数学竞赛全体同学编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12得分：3 7 5 8 4
2、 5 6 7 6 7 7 6这表明一个事实2011年广东省高考数学题运算量大！一个真实故事2010年9月，我任教高一竞赛班数学。有一个同学解一元二次方程，这位同学没有用十字相乘法，也没有用求根公式，她使用的是她最擅长的方法配方法。这表明一个事实，我们的学生运算方法差！文【1】中指出，新课程标准对于运算求解能力的要求较传统课程的要求大为降低，这在教学实践中也产生了一定负面影响。在教学实践中，数学教师尤其是初中数学教师对运算要求的降低，学生的运算能力也有一定程度的下降。文【1】中又指出，针对这一薄弱点，2011年试题加大了对运算求解能力的考查，有利于发挥积极的引导作用。文【1】提醒我们不得不承认，
3、当前学生的运算能力确实比较弱，从近几年高考答卷情况容易看出。因此，对于运算求解能力的考查，应该呈现出一个逐步加强的过程。中学数学教师如何迎接逐步加强运算求解能力的考查的挑战！1、 代数运算中注意对“形”的理解和应用，是提高运算能力的有效方法。围棋之战中，双方都十分注意棋形的好坏，好的“棋形”进可攻退可守。做平面几何题尤其要注意“直观”，当直观被隐藏起来以后，要添加辅助线，把原图补成一个“好形”。这样做问题便可以迎刃而解。代数也讲究“形”，什么是代数的形？先看一个例子：设求的最小值。将上式变形为：用均值不等式即可。培养学生对形的感悟十分重要。代数运算中注意对“形”的理解和应用，是提高运算能力的有
4、效方法。高中阶段的代数运算主要是“变形”，如何在变形的过程中得到“好形”和运用“好形”解决问题值得研究。例如：2011年广东省高考理科数学第20题设,数列满足,(1) 求数列的通项公式;(2) 证明:对于一切正整数,.一个具有较好数学素养的同学在学习了等差数列和等比数列后,他们获得地应该是一些数学模型:如等差数列模型,等比数列模型,递推模型,迭加模型,累加模型,累乘模型,等差与等比积模型,换元后等差(或等比)模型,可归纳模型等等.在数学运算过程中能走近模型,无疑这些变形会产生”好形”.由 联想1.递推模型: “好形”2.等比模型:令, , “好形”3.换元模型: “ 好形”4.归纳模型: 猜想
5、: “好形”我们在课堂教学中注意引导学生认识什么是好形,总结好形在运算中的作用, 学生的运算能力会不断增强。2、 加强通性”“通法”的训练，是提高运算能力的有效途径（1） 数学归纳法是数学的基本方法，与自然数的无限子集有关的命题可以使用数学归纳法。运用第一数学归纳法证明等式、不等式是高中数学教学的基本要求。教学片段一：能否用数学归纳法用数学归纳法证明：学生：不能用数学归纳法教师：为什么？学生：做不了教师：不可能，与自然数有关的命题都可以使用数学归纳法学生：真的做不了，不能用归纳假设教师：为什么不能用归纳假设？学生：不等式右边不含学生：顿悟！啊！可以在不等式右边补含的式子再看一个例子：06高考题
6、有一问是要证： 加强命题： 先证引理： （2） 换元法化繁为简，透析本质2009广东高考理数21：已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.简析:由于，可令函数，则有，即. . 又2011年全国高中数学联赛一试:4.如果,那么的取值范围是简析: 不等式等价于又是上的增函数,所以（3） 导数法导数是研究函数的有力工具。既可以研究函数的局部性质，例如，函数在某点的切线的斜率，函数的极值等等；也可以研究函数的整体性质，例如，函数在某个区间上的单调性等等。既有定量也有定性。利用导数是研究函数的方法是表格法。然而，列表格的关键是导函数的零点可求。如果导函数不是初等函数
7、，是超越函数，导函数的零点不能量化，怎么办？我们在训练中要注意：用“二分法”估计零点。利用函数的单调性,可以选择其单调区间的子区间,或定义域的子集.（4） 分类法 解不等式重点是一元一次不等式(组),一元二次不等式(组)和可化为一元一次不等式(组),一元二次不等式(组)的不等式都需要分类,处理含有绝对值的问题的一般方法分类讨论去掉绝对值符号。教学中注意总结分类标准,如按余数分类(分奇偶等);按性质分类(如等比数列的公比,直线的斜率等);按零点分类；按判别式分类等等。3、 “重予规”， “示以巧”，让学生在运算过程中苦中有乐！教学片段二：如何化简师生：由椭圆的定义得到 师生：移项，有利于两边平方
8、师生： 可以直接两边平方师生：观察方程，令 ， 分别平方 教学说明：上式从几何意义上讲是“好形”，但是方程不能叫椭圆的标准方程，需要化简。学生比较害怕含有两个根号的式子，按定势思维一般变形为式，然后两边平方不难得到椭圆的标准方程。培养运算能力就是要在难受的地方让学生多吃点苦。老师千万不能包办代替，此时此刻教师的责任就是等待！教师建议不移项直接两边平方看看行不行。让学生在吃点苦！学生演算过后很惊奇,过程并不麻烦！这样做给学生一些积极的心理暗示和一些战胜两个根号的勇气。其实，事情并没有结束，方程式不仅从几何意义上讲是“好形”，从代数上看是一个对偶式，作， 变换可以简化运算。教学中，教师既有“重规”
9、，也有“示巧”，让学生在运算过程中苦中有乐！解析几何问题的运算量特别大，造成运算量大原因是在坐标化的过程中，用怎样的代数形式表达几何图形。例如，直线有一般式、两点式、点斜式、斜截式、截距式。还有什么都不是。教学片段三：妙在一“设”中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆与直线交于两点，为的中点，直线的斜率为，且，求椭圆的方程。教师：求曲线方程一般分两类，曲线未知用“五步”法；曲线已知用待定系数法；本题要设椭圆方程。学生甲：先设 再设 运算量大学生乙：设 避免了讨论学生丙：设 避免了讨论，运算量小解析几何问题的运算有句名言：设而不求。为什么设了不求呢？这是个非常有意识的问题，是求不出来，还是难得求出来，
10、还是不需要求出来。事实上，这里有一个窍门，对称式都可以用基本对称式表示。显然二元对称式都可以用二元基本对称式表示。几何条件许多是可以转化为二元对称式，这是解析几何问题的基本特征。只有这样我们的课堂教学才会有效、高效！“同理可得”是数学的一大特点，在数学问题中有些问题“同态“，有些问题“同构”。准确地使用同理是简化运算的一种手段。教学片段四：可不可以“同理”？人教版选修21第50页组4.如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，是线段的四等分点，是线段的四等分点，请证明直线与、与、与的交点都在椭圆上。略解：设故当时， 直线 直线 联立方程组将联立方程组中的消去就是椭圆.教学中在运用“同理可得”的时候
11、也存在风险。还有一些如“类似地可得”,“不妨设”等等，也是很值得注意。4、 运算能力的培养，要防止在重要关节处马虎草率，囫囵吞枣新课程指出高中数学课程的基础性，包括，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养。有价值的思维活动依赖于好的数学问题。思维活动的展现依赖于好的运算。一个含有思维活动的运算恰恰这些是提高学生数学素养之所在。教学片段五：教还是不教渐近线的证明“夹逼原理”为什么是双曲线的渐近线教师：为什么是双曲线的渐近线学生：当时，与无限接近于零教师：计算点到直线的距离学生甲：学生乙：“变形”得到的不是“好形”学生丙：学生丁：“变形”得到的也不是“好形”师生共同探讨：设在双曲线上，在直线上， ，这是“好形”！当时，无限接近于零。注意到： 这里根据“夹逼原理”可得，当时，无限接近于零。“夹逼原理”在技巧上使用了不等式的“放缩”，在思想方法上是“转化”。当我们的教学已经走进了学生的“最近发展区”的时候，要把握机遇。往往这种机遇比我们刻意去营造的效果更好！参考文献1 吴有昌.回归传统 回归课本-2011年高考数学广东卷试题和答卷分析中学数学研究,2011(8)2 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)人民教育出版社,2003.
