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1、高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若为直线的倾斜角，则称为直线的(一个)方向向量.2.求证：若为直线上任意两点，为的方向向量,则有.证明：3.设直线过点的倾斜角为，求它的一个参数方程.归纳小结 （1）引参：取满足 的实数作参数（为直线的单位方向向量）. （2）（标准）参数方程： （为参数）方程特点：中已知点的坐标为 ，未知点坐标为；参数的系数：在表达式中参数的系数为 ，在表达式中参数的系数为 ；角的含义：为直线的 ；表达式中运算符号： .（3）向量等式的特点:左边向量起点必须是 ，终点必须是 ；等号右边向量的坐标必须是 ，且必须为
2、直线的 ；一个重要的等价关系：点的参数值为 .如点的参数值为 ；点的参数值为 ；点的参数值为 .（4）（标准）参数方程: （为参数）.（5）消参：当时, 消参得 ；当时, 消参得 .（6）参数的几何意义:表示 ，其绝对值为 .（7）参数的取值范围:；若与同向,则取 值；若与反向,则取 值；若与重合，则.二、弦长公式、线段中点参数值1.设是曲线截直线（为参数）所得弦，且弦端点的参数值分别为，为线段中点，参数值为，则（1）.（弦长公式的参数形式）证明：（2）.证明：例1 已知直线与抛物线交于两点，求线段的长和点到两点的距离之积.例2 经过点作直线，交椭圆于两点.如果点恰好为线段的中点，求直线的方程
3、.练习1.设直线经过点，倾斜角为. （1）求直线的参数方程；（2）求直线和直线的交点到点的距离； （3）求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.2.已知经过点，斜率为的直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为.求点的坐标.3.经过点作直线交双曲线于两点，如果点为线段的中点，求直线的方程.4.经过抛物线外的一点且倾斜角为的直线与抛物线分别相交于.如果，成等比数列，求的值.5.已知曲线(为参数),曲线(为参数)（1）化、的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.解：练习：1.直线的方程为（为参数），则上任一点到点的距离是
4、A. B. C. D.2.直线（为参数）的倾斜角是A. B. C. D.3.已知直线（为参数）上的点、所对应的参数分别为、，点分所成的比为，则点所对应的参数是A. B. C. D.4.直线与圆的位置关系是A.相交但直线不过圆心 B.相交且直线过圆心 C.相切 D.相离5.下列参数方程都表示过点，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点和的距离，这个参数方程是A. B. C. D.6.直线（为参数）与直线（是参数）的位置关系为 CA.关于轴对称 B.关于原点对称 C.关于直线对称 D.互相垂直7.曲线的参数方程为（为参数，），则的取值范围是A.B.C.D.8. 参数方程（）所表示的曲
5、线是 .9.直线（为参数）上到点的距离为，且在点下方的点的坐标是 .10.点与两直线（是参数）及的交点的距离是 .11.两圆（是参数）与（是参数）的位置关系是 .12.已知直线经过点，倾斜角为.（1）写出直线的参数方程；（2）设直线与椭圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积.B.化一般参数方程为标准参数方程1.直线标准参数方程的特点：参数的系数：、；角的含义：为直线的倾斜角；表达式中运算符号：加法.2.一般参数方程向标准型转化：设直线的一般参数方程为 (为参数) 则可得标准方程为(取为参数)显见，参数的绝对值表示直线上的动点与定点的距离.证明:设直线的倾斜角为，设直线标准参数方程为，与对比，得
6、 (为参数) 【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) (为参数) (2)(为参数) (3) (为参数)结果(1) (为参数) (2) (为参数)(3)令则于是,取,则,于是得直线的标准参数方程为(为参数).例 求直线(为参数)与直线的交点到定点的距离题型三：参数方程中参数具有几何意义的条件【知识链接】参数方程中参数具有几何意义的条件：且事实上，【巩固与应用】例4 求直线：(为参数)被曲线（为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数系数平方和为1，则参数就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：、，联立消元，整理得，于是两交点为，故.解二：椭圆的普通方程为：，将直线参数方程代入并整理得，解得或，故 1
