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1、第十一单元 鸡兔同笼与假设法单元简介：鸡兔同笼问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经（孙子算子共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题）中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是352=70（只），比题
2、中所说的94只要少94-70=24（只）。现在，松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：242=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全
3、是兔子。走进来我们今天来学习一个有趣的问题，这个问题是我国伟大的数学家孙子在大约1500年前提出来的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”你知道这四句话的意思吗？你又知道孙子当年是如何解决这个问题的吗？今天我们就沿着孙子的足迹走进1500年前，和我们伟大的数学家孙子一起来探讨这个问题，好吗？为了研究方便研究问题，我们不妨建立几个情境：新年到了，鸡兔在一起开展了一次化妆舞会。第一场：鸡的专场舞会：10只鸡上台表演，你知道有多少条腿吗？第二场：兔的专场舞会：一些兔上场表演，数腿有20条，你知道有多少只兔吗？第三场鸡兔同台表演：数头10只，数腿28条，你知道有几只鸡和几只兔吗
4、？我们来分析一下，上面三个问题，哪一个更难一些？难在哪里了呢？解决问题的方法是什么呢？（把两样东西看成一样的东西）一起做好，我们就用上面的想法来解决这个问题。出示例1。【例1】鸡兔同笼，不知其数，只知头共10只，腿共28条，鸡兔各多少只？教学建议：可以都看成什么？结果是什么？解：假设都是鸡（画10个小圆圈表示10只头，每个头下面画两竖表示两条腿） 则有腿：102=20 比实际少了28-20=8 原因是这里面有兔，把兔看成鸡了。每看错1只少：4-2=2只腿。看错：8（4-2）=4只。则有兔4只，鸡：10-4=6 你知道孙子是怎样解决这个问题的吗？小结：当几种事物参合在一起的时候，分不清哪个有几个
5、的时候，先不妨看成一样的，即采取假设的方法来解决。好处是多样的事物转化为一种事物，把复杂问题转化为简单问题来解决了。练习：展现自己12【例2】小达的储蓄盒里有2元和5元的人民币共55张，总钱数为185元，两种面值的人民币各多少张？教学建议：说一说题中的条件是什么？与例1比较，相同的地方是什么？解：假设55张都是2元的，552=110元，相差185-110=75元，每把一张5元的当成2元的少算（5-2）元，因此有5元的张数是75（5-2）=25张。2元的张数是55-25=30张。小结：什么时候用假设法来解决问题。假设法的作用是什么？练习：展现自己35【例3】鸡兔同笼，鸡比兔多14只，共有脚136
6、只。鸡兔各有多少只？教学建议：如果这个问题变成鸡兔同样多，你会解决了吧？那么假设什么呢？解：假设鸡和兔同样多，1只鸡和1只兔为一组共6条腿。可以“假设去掉14只鸡，根据腿的剩下数量可以求出兔的数量，（136-142）（4+2）=18只（兔的数量）。 还可以“假设增加14只兔，则腿的数量增加到136+144=192只脚，192（4+2）=32只（鸡的数量）也可解答。练习：展现自己67【例4】鸡兔同笼，鸡兔共45个头，兔脚比鸡脚多78只，鸡兔各有多少只？教学建议：提出问题：如果45只都是兔，而鸡是0只，兔腿的总数比鸡腿多多少呢？解：假设45只都是兔，而鸡是0只，兔腿的总数比鸡腿多180条，要使兔腿
7、比鸡腿多78只，调整鸡、兔的数量是本例的关键。每调整一只，则腿的差减少（4+2）条，现在中多180，而实际上只多78条。相差180-78=102条，所以鸡的只数=102（4+2）=17只。兔的只数是45-17=28只。练习：展现自己89【例5】达慧学校举行智力竞赛，每位选手应回答25道题，若回答正确，每题得4分，若答错了或不答，则每题倒扣1分。小奇得了85分，他答对了多少道题？提出问题：对每一道题来讲，得分情况都有哪些？“答错了或不答，则每题倒扣1分”的意思是什么？（从做对题得分中扣1分）解：假设25道题全答对，每题得4分，则得254=100分。而实际得分85分，损失了15分，把一道扣分的题当
8、成对的，多少了4+15分，就可计算出他答错了15（4+1）=3道（答错或未答的）答对了25-3=22道。练习：展现自己1012【例6】小慧的储蓄盒里有2元、5元和10元人民币共48张，总钱数为220元，其中2元和5元的张数相同，三种人民币各有多少张？提出问题：本例题与例2有什么不同？三个未知量能否转化为两个未知量，如何转化？解：三个未知量中，“2元和5元张数相同”由此可假设48张都是10元人民币，钱数=4810=480元，钱数与实际矛盾。调整时，要注意一组一组调整，用“1张2元和1张5元”换“2张10元”。每交换一次，钱数减少102-（2+5）=13元。2元和5元的张数=（480-220）13
9、=20张。10张数=48-20-20=8张。练习：展现自己1315【例7】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在有三种昆虫共18只，有腿122条，翅膀16对，问三种昆虫各有多少只？ 教学建议：认真读题，此题与前面的题比较，有什么特点？（三种事物，而且数量关系比较复杂：在已知条件中有头有腿还有翅膀），我们考虑问题不仅要考虑腿的数量还要考虑翅膀的数量（首先从腿的情况考虑：蜻蜓和蝉都有6条，可以把它们看成同一类昆虫，而蜘蛛8条腿，这样可以分成两大类。从而求出蜘蛛和6条腿的昆虫的只数。再从翅膀方面讨论，得出蜻蜓和蝉的只数）解：假设都是6条腿的昆虫，共有腿186=108条。和实
10、际相差122-108=14条。有8条腿昆虫只数=14（8-6）=7只。6条腿昆虫=18-7=11只。（蜻蜓+蝉）。假设11只都是蜻蜓，则有翅膀112=22对，和实际相差22-16=6对。蝉的只数=6（2-1）=6只。则蜻蜓只数=18-7-6=5只。练习：超越自我13我发现什么时候用假设法来解决问题？假设法的作用是什么？参考答案：展现自己1鸡：25只；兔：5只 2鸡：16只；兔：35只35角：8张；2角：10张 4梨：16筐；苹：12筐5篮球：32元；排球：25元 6鸡：28只；兔：43只7鸡：57只；兔：42只 8兔：30只；鸡70只9鸡：55只；兔：45只 10对：11道11对：18道 12
11、5箱13. 50元：20张14. 40元：120 张 50元：120张 30元：160张15. 1元：20张；2元：18张；5元：12张超越自我1 假设24只都是6条腿：15624612条，蜘蛛：12（86）6只；蜻蜓和蝉共：24618只，假设18只都是蝉：蜻蜓281810只；蝉：18810只。（方法不一）2 假设37只都是6条腿：25037628条，螃蟹：28（86）14只；蜻蜓和螳螂共：371423只，假设23只都是螳螂：蜻蜓25232只；螳螂：23221只。部分练习详解：展现自己 1 3047050（只）鸡：50（42）25（只） 兔：30255（只）2 51417232（只）鸡：32（
12、42）16（只） 兔：511635（只）3 5186030（只）2角：30（52）10 5角：181084 302878060（筐）苹果：60（3025）12（筐） 梨：281216（筐）5 22137200（元）排球：200（35）25（元）篮球：25732（元）615460（只）鸡：（22860）（42）28（只）兔：281543（只）715230（只）兔：（28230）（42）42（只）鸡：421557（只） 81002200（只）兔：（20020）（42）30（只）鸡：1003070（只） 91004400（只）鸡：（40070）（42）55（只）兔：1005545（只） 10 158
13、120（分）错：（12072）（84）4（道）对：15411（道）11 2058812（分）错：12（51）2（道）对：20218（道）12 250204400600（元）600（20100）5（箱）13 1004618002800（元）2800（21001050）20（张）14 3040012000（元）15600120003600（元）40元与50元：3600（4050302）120（张）30元：4001202160（张）15 11612114（元）（502）5114126（元）2元：126（5212）18（张）1元：18220（张）5元：50182012（张）第十二单元 盈亏问题与对应法
14、单元简介：盈亏问题是在等分除法的基础上发展的，它属于分配问题。分配时，两种分配方案的结果会出现“剩余（盈）”或“不足（亏）”的情况，所以我们分析问题时，通过观察、比较已知条件，研究对应数量的变化，寻找答案 ，这种思维方法叫对应法。 对应法又叫比较法，重点是在比较中分析，在比较中解题。“对应”是解决数学问题常用的一种方法。为了清楚地找出变化的数量关系，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，有利于我们进行观察和分析。走进来：很久以前的一天，几个小童去赶集，路上买了一筐梨，于是他们商量把这筐梨分了。如果一人3个则多5个，如果一人4个则正好，你知道有几个小童？几个梨吗？我们来分析一下：分了几次梨？为什么还要分第二次？两次分梨的过程中相同点和不同点是什么？通过比较两次分梨的过程，你得出什么结论？走进来【例1】老师把一些笔记本分发给他的学生们 ，若每人分3本，则剩余28本；若每人分4本，则缺少2本。问有多少名学生？有多少本笔记本？提出要求：列出已知条件。再比较两次分配结果的差额，想想出现差额的原因是什么？解：每人3本，多28本；每人4本，少2本
