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1、利用勾股定理确定最短问题我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.例1（恩施自治州）如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） 图25201510CAB图1A.5 B.25 C.10+5 D.35分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.解依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，有如图2所示的4
2、种粗线情形，其中图中粗线的长度为的5，图中粗线的长度为的25，图中粗线的长度为的+510+5，图中粗线的长度为的5+20+1035，显然35510+525.故应选B.说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例2（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm.BA6cm3cm1cm图1图2BA分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路
3、，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解如图2，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB10，即所用细线最短为10cm.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，即8n，由勾股定理，得，即所用细线最短为cm，或2cm.说明对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长
4、.例3（泸州市）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米时 (即米秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A.在如图所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60方向上，点C在A的北偏东45方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.（1）求点B和点C的坐标；（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（参考数据：1.7）（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2
5、倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?分析（1）要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.（2）由（1）可知BC的长度，进而利用速度公式求得并与比较即可.（3）为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶 了2x米，于是利用勾股定理可求出x的表达式进而求得.解（1）在RtAOB中，因为BAO60，所以ABO30，所以OAAB，而OA100，所以AB200，由勾股定理，得OB100.RtAOC中，CAO45，所以OCOA100，所以B(100，0)，C(100，0).（2）因为BCBO+CO100+100，所以18，所以这辆车超速了.（3）设大货车行驶到某一时刻行
6、驶了x米，则此时小汽车行驶 了2x米，且两车的距离为y，显然，当x60时，y有最小值是20米，即两车相距的最近距离为20米.说明本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到(x60)2的最小值是0.例4（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PA+PB，图
7、2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PA+PB.（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2PA+PB的值为最小；GYXBAQPO图3AB（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.BAPX图1CCBAPXA图2M分析为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对称等几何知识即可求解.解（1）如图1中，过B作BCAP，垂足为C，则由勾股定理，得PC
8、40.在RtPBC中，由勾股定理，得BP40.所以S140+10（km）. 如图2中，过B作BCAA垂足为C，由轴对称知PAPA，则AC50，又BC40，所以由勾股定理，得BA10，所以S2BA10（km）.显然，S1S2.（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA，由轴对称知MAMA，所以MB+MAMB+MAAB，所以S2BA为最小.（3）过A作关于X轴的对称点A，过B作关于Y轴的对称点B，连接AB，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求.过A、B分别作X轴、Y轴的平行线交于点G.由勾股定理，得AB50，所以所求四边形的周长为(50+50)km.说明本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.
