第一章数据结构与算法.doc

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1、第一章 数据结构与算法 1、算法是指解题方案的准确而完整的描述。换句话说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述。 *：算法不等于程序，也不等于计算方法。程序的编制不可能优于算法的设计2、算法的基本特征 （1）可行性。针对实际问题而设计的算法，执行后能够得到满意的结果。 （2）确定性。每一条指令的含义明确，无二义性。并且在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，即相同的输入只能得出相同的输出。 （3）有穷性。算法必须在有限的时间内完成。有两重含义，一是算法中的操作步骤为有限个，二是每个步骤都能在有限时间内完成。 （4）拥有足够的情报 （输入和输出）。算法中各种运算总是要施加到各个运算对象上，而这些

2、运算对象又可能具有某种初始状态，这就是算法执行的起点或依据。因此，一个算法执行的结果总是与输入的初始数据有关，不同的输入将会有不同的结果输出。当输入不够或输入错误时，算法将无法执行或执行有错。一般说来，当算法拥有足够的情报时，此算法才是有效的；而当提供的情报不够时，算法可能无效。 *：综上所述，所谓算法，是一组严谨地定义运算顺序的规则，并且每一个规则都是有效的，且是明确的，此顺序将在有限的次数下终止3、算法复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。 （1）算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量，可以用执行算法的过程中所需基本运算的执行次数来度量。 （2）算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的

3、内存空间。1.2 数据结构的基本概念 1、数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。 2、数据结构主要研究和讨论以下三个方面的问题： （1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构。 数据的逻辑结构包含：1）表示数据元素的信息；2）表示各数据元素之间的前后件关系。 （2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构。 数据的存储结构有顺序、链接、索引等。 1）顺序存储。它是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置相邻的存储单元里，结点间的逻辑关系由存储单元的邻接关系来体现。由此得到的存储表示称为顺序存储结构。 2）链接存储。它不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上亦

4、相邻，结点间的逻辑关系是由附加的指针字段表示的。由此得到的存储表示称为链式存储结构。 3）索引存储：除建立存储结点信息外，还建立附加的索引表来标识结点的地址。 *：数据的逻辑结构反映数据元素之间的逻辑关系，数据的存储结构（也称数据的物理结构）是数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式。同一种逻辑结构的数据可以采用不同的存储结构，但影响数据处理效率。 （3）对各种数据结构进行的运算。3、数据结构的图形表示 一个数据结构除了用二元关系表示外，还可以直观地用图形表示。在数据结构的图形表示中，对于数据集合 D 中的每一个数据元素用中间标有元素值的方框表示，一般称之为数据结点，并简称为结点；为了进一步

5、表示各数据元素之间的前后件关系，对于关系 R 中的每一个二元组，用一条有向线段从前件结点指向后件结点。4、数据结构分为两大类型：线性结构和非线性结构。 （1）线性结构（非空的数据结构）条件：1）有且只有一个根结点；2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。 *：常见的线性结构有线性表、栈、队列和线性链表等。 （2）非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。 *：常见的非线性结构有树、二叉树和图等。1.3 线性表及其顺序存储结构 1、线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。线性表是由 n(n0) 个数据元素组成的一个有限序列，表中的每一个数据

6、元素，除了第一个外，有且只有一个前件，除了最后一个外，有且只有一个后件。线性表中数据元素的个数称为线性表的长度。线性表可以为空表。 * ：线性表是一种存储结构，它的存储方式：顺序和链式。 2、线性表的顺序存储结构具有两个基本特点：（1）线性表中所有元素所占的存储空间是连续的；（2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。 *：由此可以看出，在线性表的顺序存储结构中，其前后件两个元素在存储空间中是紧邻的，且前件元素一定存储在后件元素的前面，可以通过计算机直接确定第 i 个结点的存储地址。3、顺序表的插入、删除运算 （1）顺序表的插入运算：在一般情况下，要在第 i（1in）个元素之前

7、插入一个新元素时，首先要从最后一个（即第 n个）元素开始，直到第 i 个元素之间共 n-i+1 个元素依次向后移动一个位置，移动结束后，第 i 个位置就被空出，然后将新元素插入到第 i 项。插入结束后，线性表的长度就增加了 1。 *：顺性表的插入运算时需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动 n/2 个元素。 （2）顺序表的删除运算：在一般情况下，要删除第 i（1in）个元素时，则要从第 i+1 个元素开始，直到第 n 个元素之间共 n-i 个元素依次向前移动一个位置。删除结束后，线性表的长度就减小了 1。 *：进行 顺性表的删除运算时也需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动（n-1）/

8、2 个元素。插入、删除运算不方便。1.4 栈和队列 1、栈及其基本运算 栈是限定在一端进行插入与删除运算的线性表。 在栈中，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。栈顶元素总是最后被插入的元素，栈底元素总是最先被插入的元素。即栈是按照“先进后出”或“后进先出”的原则组织数据的。栈具有记忆作用。 栈的基本运算：1）插入元素称为入栈运算；2）删除元素称为退栈运算；3）读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量，此时指针无变化。 栈的存储方式和线性表类似，也有两种，即顺序栈和链式栈。2、队列及其基本运算 队列是指允许在一端（队尾）进入插入，而在另一端（队头）进行删除的线性表。尾

9、指针（Rear）指向队尾元素，头指针（front）指向排头元素的前一个位置（队头）。 队列是“先进先出”或“后进后出”的线性表。 队列运算包括：1）入队运算：从队尾插入一个元素；2）退队运算：从队头删除一个元素。 循环队列及其运算：所谓循环队列，就是将队列存储空间的最后一个位置绕到第一个位置，形成逻辑上的环状空间，供队列循环使用。在循环队列中，用队尾指针 rear 指向队列中的队尾元素，用排头指针 front 指向排头元素的前一个位置，因此，从头指针 front 指向的后一个位置直到队尾指针 rear 指向的位置之间，所有的元素均为队列中的元素。 *：容量为 N 的循环队列中元素的个数。1)f

10、rontrear:N-front+rear 2)front=rear:N 或 0 3)frontrear:rear-front1.5 线性链表 1、线性表顺序存储的缺点：（1）插入或删除的运算效率很低。在顺序存储的线性表中，插入或删除数据元素时需要移动大量的数据元素；（2）线性表的顺序存储结构下，线性表的存储空间不便于扩充；（3）线性表的顺序存储结构不便于对存储空间的动态分配。 2、线性链表：线性表的链式存储结构称为线性链表，是一种物理存储单元上非连续、非顺序的存储结构，数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接来实现的。因此，在链式存储方式中，每个结点由两部分组成：一部分用于存放数据元素的值，

11、称为数据域；另一部分用于存放指针，称为指针域，用于指向该结点的前一个或后一个结点（即前件或后件），如下图所示： 线性链表分为单链表、双向链表和循环链表三种类型。 在单链表中，每一个结点只有一个指针域，由这个指针只能找到其后件结点，而不能找到其前件结点。因此，在某些应用中，对于线性链表中的每个结点设置两个指针，一个称为左指针，指向其前件结点；另一个称为右指针，指向其后件结点，这种链表称为双向链表，如下图所示：3、线性链表的基本运算 data next数据域 指针域a 1 a2 a n-1 HEAD an(a)结点结构 (b)一个非空的线性链表示意图右指针 左指针 数据域(a)结点结构a1a n

12、a 2 HEAD(b)一个非空的双向链表示意图（1）在线性链表中包含指定元素的结点之前插入一个新元素。 *：在线性链表中插入元素时，不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可，也不会出现“上溢”现象。 （2）在线性链表中删除包含指定元素的结点。 *：在线性链表中删除元素时，也不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可。 （3）将两个线性链表按要求合并成一个线性链表。 （4）将一个线性链表按要求进行分解。 （5）逆转线性链表。 （6）复制线性链表。 （7）线性链表的排序。 （8）线性链表的查找。 *：线性链表不能随机存取。4、循环链表及其基本运算 在线性链表中，其插入与删除的运算虽然比较

13、方便，但还存在一个问题，在运算过程中对于空表和对第一个结点的处理必须单独考虑，使空表与非空表的运算不统一。为了克服线性链表的这个缺点，可以采用另一种链接方式，即循环链表。 与前面所讨论的线性链表相比，循环链表具有以下两个特点：1）在链表中增加了一个表头结点，其数据域为任意或者根据需要来设置，指针域指向线性表的第一个元素的结点，而循环链表的头指针指向表头结点；2）循环链表中最后一个结点的指针域不是空，而是指向表头结点。即在循环链表中，所有结点的指针构成了一个环状链。 下图 a 是一个非空的循环链表，图 b 是一个空的循环链表： 循环链表的优点主要体现在两个方面：一是在循环链表中，只要指出表中任何

14、一个结点的位置，就可以从它出发访问到表中其他所有的结点，而线性单链表做不到这一点；二是由于在循环链表中设置了一个表头结点，在任何情况下，循环链表中至少有一个结点存在，从而使空表与非空表的运算统一。 *：循环链表是在单链表的基础上增加了一个表头结点，其插入和删除运算与单链表相同。但它可以从任一结点出发来访问表中其他所有结点，并实现空表与非空表的运算的统一1.6 树与二叉树 1、树的基本概念 树是一种简单的非线性结构。在树这种数据结构中，所有数据元素之间的关系具有明显的层次特性。 在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点。没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。每一个结点可以有多

15、个后件，称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。 在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。树的最大层次称为树的深度。2、二叉树及其基本性质 （1）什么是二叉树 二叉树是一种很有用的非线性结构，它具有以下两个特点：1）非空二叉树只有一个根结点；2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。 *：根据二叉树的概念可知，二叉树的度可以为 0（叶结点）、1（只有一棵子树）或 2（有 2 棵子树）。 （2）二叉树的基本性质 性质 1 在二叉树的第 k 层上，最多有 个结点。 性质 2 深度为 m 的二叉树最多有个 个结点。 性质 3 在任意一棵二叉树中，度数为 0 的结点（即叶子结点）总比度为 2 的结点多一个。 性质 4 具有 n 个结点的二叉树，其深度至少为 ，其中 表示取 的整数部分。3、满二叉树与完全二叉树 满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。 完全二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层