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1、16.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】1、 理解二次根式的概念，并利用（a0）的意义解答具体题目.2、 理解（a0）是一个非负数和（）2=a（a0），并利用它们进行计算和化简.【重点难点】1、 二次根式的性质.2、 能确定二次根式中字母的取值范围.二次根式的性质二次根式的有关概念 二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式二次根式的双重非负性被开方数a非负，即a0本身非负，即0二次根式的有关公式知识概览图（）2=a（a0）新课导引如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就
2、越广如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系式，r= ，其中R是地球半径，R6400 km若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少? 【问题探究】 因为R6400 km，h200 km，所以求传播半径r，实际上就是求的值，即求的值怎么求的值呢?【解析】因为160022560000，所以1600所以r =1600(km)教材精华知识点1 二次根式的概念一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式其中“”读作“二次根号” 拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“”如，等都有“”，虽然=4，但是4是二次根式的计算结果，因此，等也都是二次
3、根式. (2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证有意义，即a0，也就是说，被开方数必须是非负数例如：，因为无论 a取什么实数，都有a20，所以是二次根式而，都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围(3)“”的根指数为2，即“”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0如就不是二次根式，因为它的根指数是3(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的
4、前面，省略乘号若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：与相乘，要写成的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.知识点2 确定二次根式中字母的取值范围要使有意义，被开方数a就必须是非负数，即a0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如，只有当2x+10，即x时，二次根式才有意义. 再如，对于式子来说，只有当即-1x3时，二次根式才有意义. 拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.知识点3 二次根式的性质二次根式的双重非负性: 0，a0，因为（a0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知0，如，等都
5、是非负数.（)2=a（a0）. 由于（a0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（)2=a，例如：（)2=3，（)2=6，（)2=1.5. 拓展（1）（)2=a（a0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.（2）把（)2=a（a0）逆用，写成a=（)2（a0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（)2，所以x2-2=x2-（)2=（x+）（x-）.（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用
6、. 比如：（3)2=32（)2=92=18. （)2=（)2（)2=6=等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.知识点4 的化简由于 表示a2的算术平方根，所以的化简结果必须是个非负数. 而当有意义时a2（a0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如. 如果中a的符号不确定，那么要讨论. 即=拓展 （)2与的区别与联系，如下表所示：（)2字母a的取值范围不同被开方数a的取值范围为a0，即a是一个非负数，且（)2=a. 例如：，无意义被
7、开方数a2中的a可取一切实数，也就是说，a既可以是正数，也可以是负数，还可以是零. =例如当a=3时，当a=-3时意义不同（)2=a（a0）表示a的算术平方根的平方. 例如表示5的算术平方根的平方，结果等于5表示a的平方的算术平方根. 例如： 表示3的平方的算术平方根，结果等于3形式不同（a0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身，其结果有两种形式，与a的取值有关，当a0时，当a0时，联系（a0）是一个非负数0是一个非负数当a0时，知识点5 代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a
8、+b，ab，(t0)，x3，等都是代数式. 拓展 代数式中不含有“”“”“”等符号，只有运算符号.课堂检测基本概念题1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）基础知识应用题2、当x取何值时，下列各式有意义？（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）. 3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简. 图21-1综合应用题4、（1）三角形的高是底的，底为xcm，则这个三角形的面积是 cm2;（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的
9、半径为r）. 探索创新题5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值甲同学的做法是：原式乙同学的做法是：原式谁的做法是正确的？说明理由.体验中考1、若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）A. x1且x2 B. x1C. x2 D. x1且x22、若x，y为实数，且，则（xy）2010的值为 .学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数. 解：（1）-30，不是二次根式. （2）(-3)20，是二次根式. （3）(-3)3=-270，不是二次根式. （4）的根指数3
10、，不是二次根式. （5）由于中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论. 当x0时，是二次根式；当x0时，不是二次根式. 不一定是二次根式. （6）的根指是4，不是二次根式. （7）-2a20，-2a2-10，不是二次根式. （8）(x+3)20，当分母x+3=0时，原式没有意义，当x-3时，是二次根式. 不一定是二次根式. （9）-(a-4)20，只有当a-4=0，即a=4时，是二次根式； 当a4时，-(a-4)20，不是二次根式. 综上，不一定是二次根式. （10）m2+2m+1=(m+1)20，是二次根式. 【解题策略】 本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字
11、母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的. 2、分析 本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母. 解：（1）欲使有意义，则必有. 当x=0时，有意义. （2）欲使有意义，则必有，且x-2. 当x0，且x-2时，有意义. （3）(x-1)20，无论x取何实数，都有意义. （4）欲使有意义，则必有2-3x0，x. 当x时，有意义. （5）欲使有意义，则必有，且x2. 当x-2，且x2时，有
12、意义. （6）欲使有意义，则必有. 当x3时，有意义. （7）欲使有意义，则必有，且x-1. 当x，且x-1时，有意义. （8）欲使有意义，则必有，且a-1. 当a2，且a-1时，有意义. 【解题策略】 本例中的（2）及（4）（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-30，得x3，由x2-30，得x，而均不在x3的范围内，所以只需满足x3即可. （7）小题中，由1-2x0，得x，由0，得x1，只有x=-1在x的范围内，而x=1不在x的范围内，所以只需满足x，且x-1即可.3、分析 本题考查二次根式的性质，利用公式将形如的式子化简. 解：由数轴可知a0，b0，a-b0， =-
13、=.【解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式= 4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm，则高为cm，所以三角形的面积为（cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为，所以这两个圆的周长之和为. 答案：（1） （2）5、分析 本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为，所以，所以解：甲同学的做法是正确的，理由如下：乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了与的大小关系，导致错误.【解题策略】利用进行化简时，的条件不能忽略，否则体验中考1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母0），由题意知故选D.2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由知x20，且y30，所以x2，y3，所以(xy)2010（23）2010120101.故填1.16.2 二次根式的乘除学习目标、重点、难点【学习目标】1、 最简二次根式概念；2、 二次根式的乘除法法则及其逆用；【重点难点】
