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1、1第十一章 无穷级数11.1 常数项级数的概念和性质内容概要名称主要内容常数项级数 （为常数）常数项级数的收敛性若则收敛，（:前项部分和）常数项级数常用的性质1. ，收敛收敛,且2. 则与同收同发3. 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.4收敛(收敛的必要条件)常用的结论当时收敛其和为，当时发散.例题分析1. 已给级数，1)写出此级数的前二项,;2) 计算部分和,;3) 计算第项部分和;4) 用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.知识点：前项部分和,常数项级数的收敛性.解： 1) ,2) ; 3)4) ,收敛,其和为 .2. 求常数项级数之和.知识点：前项部分和.思路: 利用
2、 解： 令 则以上两式相减得 即,，.注：利用等比级数 判别级数的收敛性及求和是常用的方法.3设收敛,讨论下列级数的敛散性: 1) 2) ; 3) .知识点：常数项级数的收敛性.思路: 利用常数项级数的性质.解：1) 发散.注： ，则发散是判别级数发散常用的方法.2) 常数项级数的性质: 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.去掉前1000项得的级数仍收敛3) ,发散. 课后习题全解习题11-1 1.写出下列级数的前五项：(1) (2)(3) (4)解：(1).(2).(3) .(4) 2.写出下列级数的一般项：(1) (2) (3) (4)(5) (6)解：(1) .(2).(3) .
3、(4) .(5) .(6) .3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:(1) ; (2);(3).解：(1) . 所以,原级数收敛.(2) . 所以,原级数收敛.(3) , 所以,原级数发散.注：另解 所以不存在，原级数发散.4.判定下列级数的收敛性:(1) (2)(3) (4)(5) (6)解：(1)此为等比级数，因公比，且，故此级数收敛于(2) 级数的一般项：,由调和级数发散和级数的性质，知题设级数发散.(3) 原级数发散.(4) , 原级数发散.(5)均为等比级数且公比分别为均收敛， 故原级数收敛.(6). 原级数发散.5.求级数的和.解：.6.求常数项级数之和.解：, (上两
4、式相减).7.设级数的前项和为，求级数的一般项及和.解：, 且.8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性：(1) ； (2) ； (3).解：(1)对于任意自然数，因为（令解得）故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(2) 对于任意自然数，因为故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛. (3)，因为项故取对于任意，使得 由柯西审敛原理，知所给级数发散. 提高题1.判定下列级数的收敛性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) 收敛，发散， 发散.2) 发散.3) 发散.4) 由数列单调递增趋于知： 即，,发散.2. 求下列级数的和
5、.1); 2) 解：1) . , .2) , . 11.2 正项级数判别法内容概要名称主要内容正项级数 （为常数，）正项级数敛散性判别法1.比较判别法一般形式若当为大于的常数，则1) 收敛收敛. 2) 发散发散极限形式若，则1) ,这两级数同时收敛同时发散.2) ,收敛收敛.3) ,发散发散.2比值判别法,则1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.3.根值判别法,则1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.4. 积分判别法若存在上单调减少的连续函数，使得，则1） 收敛收敛.2) 发散发散.常用的结论当时收敛其和为，当时发散.级数时收敛，时发散例题分析1. 用比较判别法
6、或极限判别法判别下列级数的收敛性：1) 2) 3) 4) .知识点：比较判别法.思路:比较判别法的特点：先要初步估计一下被判级数的敛散性，然后找一个已知敛散性级数与之对比。这就要求我们初步判断正确，同时要掌握一些已知其敛散性的级数。常用的级数有两个：等比级数时收敛，时发散,级数时收敛，时发散.解： 1) 分析：与当时是同阶无穷小.估计是发散的。 而发散, 由比较判别法知发散. 2) 分析：此题无法直接用比较判别法，因随的增加而变化，当为奇数时等于1，当为奇数时等于3，即分母不超过3，因此有。 ， 而收敛, 由比较判别法知收敛 3) 分析： （），估计是收敛的. , 而收敛, 收敛.4) 分析：
7、 （），而收敛, 收敛.小结：比较判别法判断级数的敛散性，一般可从等价无穷小量出发，找一个已知敛散性的级数与之比较.2. 用比值判别法判别下列级数的收敛性：1) ; 2) 3)解：1) 由比值判别法知收敛.2) 由比值判别法知收敛.3) 由比值判别法知发散. 小结：通过上面1)- 3)题，当一般项中含有等，或与有公因子时，常用比值判别法.3.用根值判别法与积分判别法判别下列级数的收敛性： 1) ; 2) 解：1) 由根值判别法知，级数收敛.2)设 则显然在时非负且连续，因 故在时单调减少. 由积分判别法知发散. 小结：当一般项中含有等时，常用根值判别法. 课后习题全解习题11-2 1.用比较判
8、别法或极限判别法判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9) 解： (1) , 而发散,发散.(2) 法一:, ,而发散, 发散.法二:,而发散, 由比较判别法知发散.(3) ,与级数比较.,而收敛, 收敛. (4) ,与级数比较.,而收敛, 收敛.(5) ,与级数比较.，收敛.(6) ,与几何级数比较.，而收敛,收敛.(7) ,与调和级数比较. ，而发散,发散.(8) 当时, 发散.当时, ,这时 由几何级数收敛,知收敛.(9) 法一：,与调和级数比较.而发散,发散.法二: ,而发散, 发散.2.用比值判别法判别下列级数的收敛性：(1) (2)
9、(3)(4) (5)(6) (7) (8)解： (1) 由比值判别法知发散.(2) ，由比值判别法知,原级数收敛.(3) ，由比值判别法知,题设级数收敛.(4) ，由比值判别法知,题设级数收敛.(5) 由比值判别法知,题设级数发散.(6) 当 时，由比值判别法知发散;当 时，由比值判别法知收敛；当 时，级数为；当 时发散，当 时收敛.(7) 由比值判别法知,题设级数收敛.(8) ，由比值判别法知,题设级数收敛.3.用根值判别法判别下列级数的收敛性： (1) (2) (3)(4) (5) (6)解：(1) 由根值判别法知，级数收敛.(2) 由根值判别法知，级数收敛.(3) 由根值判别法知，级数收
10、敛.(4) 由根值判别法知，级数发散.(5) 由根值判别法知，级数发散.(6) 由根值判别法知，级数发散.4.用积分判别法判别下列级数的收敛性： (1) (2)解：(1)设 则显然在时非负且连续，因 故在时单调减少.由积分判别法 当时 当时综合上述知：当且仅当时收敛.(2)设 则显然在时非负且连续，因 故在时单调减少.由积分判别法 当时 当时题设级数发散.(例11)故当且仅当时收敛.5.若及收敛。证明下列级数也收敛：（1） （2） （3）解：(1) ， 收敛.(2) ， 收敛.(3) 在(1)中取，得收敛.6.判别级数的收敛性，其中且均为正数.解：所以当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，不能
11、判别级数 的敛散性7.设若收敛,则也收敛.解：,故收敛,则也收敛.8.设,试讨论正项级数的收敛性. 解： 故当时，级数收敛；当时，级数发散. 提高题1.判定下列级数的收敛性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) （）， 而收敛, 收敛.2) 法一：,又级数 发散. 发散法二：而发散, 由比较判别法知发散.3) 由比值判别法易知收敛， 收敛.4) 同时原级数与同时收敛，同时发散，故原级数在时收敛，在时发散.2.求级限.解: 考虑级数,其通项为 由比值判别法知,级数收敛. 由级数收敛的必要条件知. 11.3 一般常数项级数内容概要名称主要内容绝对收敛 条件收敛发散, 收敛.莱布尼兹判别法:交错级数满足下面两条件:1) , 2) ,则级数收敛，且其和的绝对值小于首项.例题分析1. 判别级数下列级数的收敛性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛
