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1、钉子板上的多边形教学设计烔炀镇中心校：程鹏教学目标1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。教学重点探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。教学难点综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系教学过程：一、激趣生疑，直观感知师生谈话引入课题“关系”这个词认识么?你会找关系么？（找一名同学说说）我们是什么关系？还可以是什么关系？今天这节课，我们就来找关系。钉子板我们见
2、过，多边形我们也熟悉，今天老师没带钉子板，但是带了它的替代品点子图。（你有什么发现？多了什么？）说明：这里每相邻两个点的距离是1cm，每个格子表示1cm2。出示 老师把这些多边形放在钉子板上，你能很快知道他们的面积么？先仔细想一想，再跟同桌互相说一说。（学生用计算、割补、数格子的方法得到每个多边形的面积，并完成表格，如下） 二、分层探索，发现规律1.起：从“a=1”开始同学们猜想，多边形的面积跟钉子板上的钉子有没有关系？有怎样的关系？预设：多边形边上的点越多，面积就越大（如果学生回答不上来，可以直接引到多边形边上钉子数的角度进行分析）多边形边上的钉子数与其面积到底有没有关系呢？下面我们就来研究
3、这个问题。数一数，每个多边形边上的钉子数有几枚呢？（完成后填表如下）图形编号多边形的面积/平方厘米多边形边上的钉子数/枚24363.5748看了表中的数据，你有什么发现？预设一：多边形边上的钉子数是面积的2倍预设二：面积是多边形边上钉子数的一半（如果学生说了情况一，就让学生们再倒过来说说，对于情况二，多指几名学生说说，然后制造困难，觉得文字表示太复杂，提出能不能用更简洁的方式来表示这个关系呢？）图形的面积，我们一般用什么字母表示？（S）在这里，我们用字母n表示多边形边上的钉子数，请同学用字母表示多边形边上的钉子数与面积之间的关系。（根据学生回答，板书：S=n2）引导学生体会，用字母表示他们之间
4、的关系，很简洁。2.承：在“a=2”中发现S=n2告诉我们，只要知道了n，就能求出s。下面，我们用这个发现来解决一些问题。把原来的三角形拉长（如左下图），学生数出n=4，代入字母式算出s=2此时，许多学生发现了矛盾：面积明明变大了，怎么还是2呢？计算实际面积是3。继续把后面两个多边形做同样的处理，如上，让学生数一数、算一算、比一比，发现结果也不符。我们再来仔细地观察和比较变化前后的多边形，引导发现，变化前的多变形内钉子数是1，变化后的多边形内钉子数是2。小结：第一行符合规律的多边形内部的钉子数都为1，第二行多边形内部的钉子数都不是1。这说明多边形的面积不仅和多边形的钉子数有关，还与多边形内部的
5、钉子数有关。刚才我们只是研究了内部钉子数为1的情况。找到了问题所在，看来，多边形内的钉子数跟我们刚才的研究也有关系。如果用字母a表示多边形内的钉子数，那么，在a=？的情况下，S=n2成立？补上这一前提，我们刚才的发现才成立。接下来，我们来研究？（a=2）a=2时，s与n之间有怎样的关系呢？动手验证，每个同学动手在研究单上画一个符合条件的多边形，并展示。（学生活动）依据这些数据，我们可以得出a=2时，s= n2+1（板书）。追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。指出：现在没有学生提出反例，所有的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，
6、当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n2+1。三、引导猜想，概括规律3.转：向“a=3，a=4，a=0拓展”提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n2；a=2时，S=n2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子、4枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再跟小组同学说一说。一组选择a=3，一组选择a=4，拿出合作研究单和点子图，猜想并画图验证完成合作研究单。小组展示（两位同学上来展示，一位负责写猜想，一位负责展台展示并讲解验证。）观察这些关系式，你能想到a=5时，s与n的关系么？a=6呢？a=100呢？a=0时，s与n又有怎样的关系？这些留给大家
7、课后继续探究。4.合：为“S=n2+(a-1)”准备要让自己变得聪明，首先要会由“一点”想到“许多点”，例如，刚才大家由a=1，想到a=2、a=3、以及a=0，其次，我们还要学会把“许多点”变到“一点”，例如，你有没有想到，把这些规律再合成一条规律呢？令a是任意数字，则有S=n2+(a-1)适当介绍，拓展视野：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作格点和面积，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。三、回顾过程，交流体会。提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？追问：还有什么疑问吗？小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。
