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1、。数学必修一复习详细资料及例题 第一章 集合 （注意空集、注意分类讨论、注意数形结合画数轴）一.集合元素的特征： 确定性 无序性 互异性。你理解确定性的意思吗？ 你能判断集合吗？（题略）集合题要特别注意求解之后检验元素的互异性。如：已知，求的值（答案：或）二.集合的表示方法： 列举法 描述法 图示法 区间法 列举法：尽量从小到大排列。描述法：注意格式，不等式中要写在左边。图示法：注意点是实心还是空心？区间法：左端点一定小于右端点，凡是都用小括号。三.两种关系： 元素与集合是从属关系，用或。集合与集合是包含关系，用或或或或=，要用最恰当的一个。常用数集符号及记住了没有?N、Z、Q、R表示什么集？
2、0_ 0_ _ _ _R0_N -1_Z _R _ _四.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，不要混淆数集和点集。如：与及表示三个不同的集合，也要注意、的区别。已知，求。（答案：）五.不含任何元素的集合叫空集，常见的形式有：方程无解，如：不等式无解，如，不符合事实，如集合，满足 ，求实数的值。（答案：2）六.集合的三种运算： 交集：，即取公共部分。当需满足多个条件时，列出不等式组（或方程组），结果则取交集。并集：，把元素合在一起，注意重复的元素只算一次。当有多种情况时，需分类讨论，结果则取并集。注：单调区间有多个时，不能用并，要用“和”或“，”。分段函数的定义域应取并集。补集：运算往往会
3、涉及一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式的解法，除此之外，也可能有绝对值不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式（见后面补充）。看到不等式，在实数范围内不要只想到整数，还有分数、无理数、负数等等。看到不等式要画数轴，借助数轴解题，体现数形结合的思想。已知，求（答案： ）七运算性质：, ，八、子集、真子集、非空真子集的个数问题，你会数吗？空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。若集合A含有n个元素，则集合A的所有子集的个数为，所有真子集的个数为所有； 所有非空真子集的个数为。已知集合A满足，求集合A的个数. （答案：7） 第一章:集合大题：1.集合相等：注意分类讨论和
4、检验元素的互异性。设集合，且A=B，求实数的值。（答案：）2. ，注意空集问题、分类讨论、方程问题、结果交并问题。已知，若，求的值（答案：）注意：方程不一定是一元一次方程，同理方程不一定是一元二次方程。3. 数形结合，包含关系，端点值取等号问题、结果交并问题。已知，若，求实数的取值范围。（答案：）若，求实数的取值范围。（答案：）思考：若，求实数的取值范围。（补集思想，答案：）若，求实数的取值范围。（答案：）4.分类讨论空集复杂题，结果交并问题。已知，若，求实数的取值范围。（答案：）若，求实数的取值范围。（答案：）若，求实数的取值范围。（答案：）5.补集思想：正难则反已知，其中至少有一个集合不是
5、空集，求实数的取值范围。（答案：）已知至多有一个元素，求实数的取值范围。（答案：）注意：方程方程不一定是一元二次方程，同理不一定是一元一次方程。说明：取值范围，结果可以写成不等式，但是最好写成区间的形式，以免出错。数学必修一复习详细资料及例题第二章 函数 （简单的说：重点是图象与性质；不简单的说，全是重点！函数要优先考虑定义域，解题时你考虑到了吗？）一.函数的定义：是非空的数集A中任意一个在B中有对应B中对应的惟一。 你会判断函数吗？如：和。你知道函数的三要素吗？你会判断两个函数相等吗？（题略）你知道值域与B之间的关系吗？二、求函数的解析式： 求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法、方
6、程组法、赋值法、区间转移法。1.一次函数满足，求（答案：或）2.二次函数满足，求（答案：）3.已知，求 （答案：）4.已知，求 （答案：）5.已知，求 （答案：）6.已知函，求 （答案：）7.设是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数 都有,求的表达式。 （答案：）8.已知函数対任意的实数,都有,且f(1)=1,若,试求的表达式。（答案：）9.若函数是R上的奇函数，且当时, 。求(1)当时,的解析式（答案：）(2)当时,的解析式（答案：）注意：函数要优先考虑定义域，求函数的解析式时，你带上定义域了吗？三、求函数值，你真的学会了吗？1.已知，你会计算吗？2.已知，则（答案：）3.（答案：
7、10）4.（答案： ）5.（答案： ）6. （答案：6 ）7.（答案：1）8.（答案：1） 9.（答案：1）10.（答案：2）11.（答案：1）12.（答案：3）13.（答案：55）14.（答案：24）15.已知（1），试用表示；（答案： ）（2），试用表示；（答案： ）四、有关计算的运算公式： 1.整数指数幂的运算（也适用实数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方等于乘方的积。 2.分数指数幂的运算 负分数指数幂等于正分数指数幂的倒数。 推论：，即指数互为相反数，底数互为倒数。 1的任何次幂都等于1 （） 0的任何次幂都等于0 （） 3.对数的基本性
8、质和运算性质 指、对互化：对数恒等式：对数的基本性质：对数的运算性质：真数相乘，对数相加。真数相除，对数相减。幂的对数等于底数的对数的幂指数倍。推论： 对数的换底公式：推论：推论：推论：推论：五、求函数的定义域（解不等式组）(1)分式的分母不等于零(2)偶次方根的被开方数大于或等于零(3)对数式的真数必须大于零(4)指数、对数的底数必须大于零且不等1.(5)指数为零的底数不可以等于零，即无意义注：若需满足多个条件，则列成不等式组，结果取交集。求下列函数的定义域：(1) （答案： ）(2) （答案： ）六、求函数的值域（或最值）值域是函数 y=f(x)中y的取值范围构成的集合。常用的求值域的方法
9、： （1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y的取值范围。适合一看就会的简单函数或一次函数。1.求函数的值域（答案：）2.求函数的值域（答案：）3.求函数的值域（答案：）4.求函数的值域（答案：）（2）利用函数的有界性，如等。1.求函数的值域（答案：）2.求函数的值域（答案：）（3）函数单调性法：适合单一单调性的函数。 1.求函数的值域（答案：）2.求函数的值域（答案：）3.求函数的值域（答案：）（4）图象法（数形结合）：投影到y轴。适合熟悉的、学过的、掌握的函数。1.求分段函数在区间的值域（答案：）2.求函数在区间的值域（答案：）（5）配方法：用于一元二次函数。1.求函数的值域（答案：）2.
10、求函数的值域（答案：）3.求函数的值域（答案：）（6）换元法 （把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，一般化为一元二次函数） 1.求函数的值域（答案：）2.求函数的值域（答案：）（7）分离常数法：用于分子、分母同次的分式。1.求函数的值域（答案：）2.求函数的值域（答案：）七、函数奇偶性的证明和性质1.奇函数的性质：定义域关于原点对称满足f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，图象关于原点对称关于原点对称的区间上单调性一致如果奇函数在x=0上有定义，那么必有f(0)=0。偶函数的性质：定义域关于原点对称满足f(-x)=f(x)=f(|x|)或f(-x)-f(x)=0，图象关于于y轴对称关于
11、原点对称的区间上单调性相反。如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么有f(x)=0，且定义域关于原点对称。2.判断函数奇偶性的方法：图像法。若函数象关于原点对称，则它是奇函数；若函数象关于y轴对称，则它是偶函数；此法只适合做选择、填空题。证明函数奇偶性的方法：定义法。做大题必须用此法。它的一般步骤是：第一步：求函数定义域，若定义域不关于原点对称，直接就可以说函数为非奇非偶函数。若定义域关于原点对称，则进行第二步。第二步：看f(-x)其与f(x)的关系。若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则函数为奇函数；若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则函数为偶函数。注意：函数要
12、优先考虑定义域，解题时你还记得吗？3.运算性质法.奇奇=奇； 偶偶=偶； 奇偶=非奇非偶；奇（）奇=偶； 偶（）偶=偶；奇（）偶=奇；已知是偶函数，其定义域为，则，。（答案：，）八、函数单调性的证明和性质1.判断函数单调性的方法：图像法。根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。只适合做选择、填空题。证明函数单调性的方法：定义法。做大题必须用此法。它的一般步骤是：取值，设 且 ；作差，求 ；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；定号，判断符号， 当符号不确定时，应分类讨论； 下结论，根据函数单调性的定义下结论。注意：单调性一定要指明在哪个单调区间有多个相同的
13、单调区间时，中间不能用“”，只能用“和”或“，”。2.运算性质法. 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 （增+增=增； 减+减=减；增-减=增，减-增=减）3. 复合函数的单调性：同增异减。（步骤：求函数的定义域；分解复合函数；判断内、外层函数 的单调性；根据复合函数的单调性“同增异减”来确定函数的单调性。函数 的递增区间是，递减区间是。（答案：递增区间是，递减区间是。）函数 的递增区间是，递减区间是。（答案：递增区间是 ，递减区间是。）注意：符合函数的单调性要特别注意优先考虑定义域，解题时你还记得吗？（
14、1） 整式型：1.证明 在区间上是减函数。2.证明 在区间上是减函数。（2）分式型：1.证明 在区间上是增函数。2.证明 在区间上是增函数。（3）根式型：1.证明 在区间上是增函数。2.证明 在区间上是增函数。九、比较大小的几种常用方法：数轴法、作差法、作商法、中介值法、单调性法（包括绝对值法、平方法等）(1)数轴法:在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。(2)作差法:设a，b是实数， (3)作商法: (4)中介值: (5)单调性法： (6)绝对值法:设a，b是两负实数， (7)平方法:设a、b是两负实数，则 1（答案：,）（答案：）十、定点问题:, 1.指数型函数经过定点。（答案： ）指数型函数经过定点。（答案： ）2.对数型函数经过定点。（答案： ）对数型函数经过定点
