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1、线性代数综合复习题、单项选择题：1、若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3,它们的余子式分别为4、2、1,则D=()2、3、4、5、6、7、(A)3(B)3(C)-11(D)11设名,立2,“是三阶方阵A的列向量组,且齐次线性方程组AX=。仅有零解，则(A)3可由0203线性表示(B)62可由口1,口3线性表示(C)%可由必，密线性表示(D)以上说法都不对设A为n(n2)阶方阵，且A的行列式|A|=aw0,A*为A的伴随矩阵，则|3A*|等于(A)3nan-1(B)3a(C)3nan1_n(D)3aan设A=a21a31a12a22a32a13a23a33a!2呢a32al2a11a21
2、23101%a23a33+a13)(A)P2AP1=B(B)P1AP2=B(C)P1P2A=B(D)P2P1A=B设A是正交矩阵,(A)|A|2必为1设A是n阶方阵,则下列结论错误的是(B)|A|必为1(C)A-1=AT且A2-3A+2E=O,则(A)1和2必是A的特征值(C)若AE,则A=2E(D)A的行向量组是正交单位向量组(B)若A#2E,则A=E(D)若1不是A的特征值，则A=2E设矩阵A=00,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中1E为三阶单位矩阵，A”为A的伴随矩阵，则B=(A)1；38、下列命题中,出9；(C)1;4(DU错误的是(A)若k11+IH+knn=0,且四，|,口口
3、线性无关，则常数kjll,kn必全为零(B)若k/1+IH+knan=0,且川|,口口线性无关，则常数kjl|,kn必不全为零(C)若对任何不全为零的数kjl|,kn,都有k1%+H|+knUn#0,则1MJMPn线性无关（D）若外,IH，%线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数ki,|,kn,使电卡|+皿=03-11、9、设A=201,则向量U-12是A的属于特征值2=2的一个特征向量。(A) (1, 0, 1)102 -110、设矩阵A =0 -32 2(A) 0; (I；(B) (1, 0, -1)T；10、0 一2,则 r(A)= -114 4，3；(C) 1;(D) 4。(C) (1
4、, 1, 0)T;o(D) (0, 1, 1)T。（其中E为三阶单位矩阵）11、已知三阶可逆方阵A的特征值是1,2,-3,则E+A的特征值是（）(A)1,2,3；(B)2,3,-;(C)2,2,1；(D)2,-,-.322335325答应选(B)112、设n阶方阵A满足A2+A-4E=0，其中E为n阶单位矩阵，则(A-E)=()。1_1_(A) -(A-2E) ;(B) (A+2E);22(C)1(A+2E);(D)41-(-A 2E)213x12x23x34M=1方程组3x1 -x2 f3x1x1 2x2x3 2x4 = -1-5x4 =10=1 . 一的解是x2(A) x3x4014行列式
5、=1=1x1=1(B)x2x3(C)x2 =2x3 = 0x4 - -2x = -1x2 2(D) nJ x3 - 00IHn -1IIIIIIHIIIIIII2III00HI00III0的值是（(n 1)(n-2)(A)(-1)2n!n(n 4)(B)(-1)n!(n I)(n-2)15、设A是三阶矩阵,(C)A的第一列与第二列交换得(-1)2 n! (D)(n-2)( n)(-1)2 n!B,再把B的第二列加到第三列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()。010(A)100；1 01010(C) 100；：0 11_010(B)101 ；001011(D) 100。：001_16、设A、B
6、为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有()。(A) A的列向量组线性相关,(B) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关；(C) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关;(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。17、设入=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1A2)-1有一个特征值等于()。3(A)；(B)；(C)；(D)。342418、任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它()。(A)合同；(B)相似；(C)等价；(D)以上都不对。二、判断题：判断结果填在题号后的括号内，正确错误X。1()、向量组0(1,ot2P3p4,如果其中任意两个向量都线性无关，
7、则u1p2,口3,口4线性无关。2()、设A、B为同阶可逆矩阵，则(A+B)-1=A-1+B-1。3()、对任意n阶方阵A,B,C,若AB=AC,则一定有B=C。4()、齐次线性方程组卜1+x2+=0的解空间的维数是1。X2X3=05()、设可逆矩阵A有一个特征值为九则A,必有一个特征值-%6()、设A、B均为n阶方阵，若AAB,则A和B一定不相似。7()、已知向量组以身，3可以由向量组1a1,%03线性表示：2)阶非零矩阵，且AA*=O,则r(A*尸。5、设三阶方阵A的行列式|A|=8,已知A有两个特征值-1和4,则还有一个特征值为。6、设A为实对称矩阵，3=(1,1,3)T与ot2=(3,
8、2,t)T分别是属于A的不同特征值4与的特征向量，则t=7、二次型f(X1,X2,X3)=2x12x2+4x2的正惯性指数是8、与向量%=(1,1,1T,o(2=(2,1,0)T,都正交的一个单位向量是3n13n23nn3nnIIIIIIIIIIh川9行列式33133233n J.33n=(321322III32n .432n311312III31n 131n311312HI3ln31n321322HI32n32nIIIHIHIIIIIII3n .413n2III3nn 3nn3n13n2III3nn3nn110、设矩阵A = 000120，矩阵X满足AX+E=A2+X,(其中E为三阶单位矩阵
9、)，01则矩阵X=(X1-x2=a11、线性方程组，x2-x3=2a有解的充要条件是()x3-x4=3ax4-x1=122212、设二次型f(x,x2,x3)=x+4x2+4x3+2九x1x2-2x1x3+4x2x3,则当儿=()时该而此型正定。x1+x2+3x3-x4=22x1一5x2+x3+x4-113、方程组11234的解是(3x22x32x4=-22x1-x24x32x414、设行列式D =-515、设-2-2A B为4阶方阵，且(A),则第二列各元素的代数余子式之和=4, r(B)=3, A和B的伴随矩阵为A ,和 B”,则r(AB=16、若A=121.20为正交矩阵，则壮专。17、
10、设A为n阶矩阵,且|A|W0, A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。若A有特征值入，则（A*）2 + E必有特征值四、计算题讨论a,b取何值时，线性方程组rx1+2x2=34x1+7x2+x3=10仅1i2x1+3x2一x3=b3+3x2+2x3=4无解、有唯一解、有无穷解，在有无穷多解时用其导出组的基础解系表示全部解。五、计算题1.2._ 531113T-51123541-1（5分）求矩阵A的秩r（A）,及A的列向量组的一个极大无关组;（5分）矩阵B中元素t取何值时B可逆?六、计算题已知：1, ：-2,%是3维向量空间的一组基，向量组 P二1二3=11.卜工2；。3,：1：2=：.2+二3
11、,：2-二3=11.八工3(1)证明：口1,02,口3是一组基。求由基斯隹，日3到基必，2，%的过渡矩阵。(3)求向量a=口1+22一口3关于基Pl,p2,日3的坐标。七、计算题求正交替换将二次型f(Xi,X2,X3)=4x2+3x2+3x2+2x2X3化为标准形，要求写出所用的正交替换及所得的标准形。八、计算题今0(1)设矩阵A= 3 1 d 01x可相似对角化，求x。5J(2)设矩阵A=32i22 123j01i0B = P,A*P,求B + 2E的特征值与特征向量，其中A冲为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。九、证明题已知A、B为n阶方阵，证明：AB与BA有相同的特征值。十、证明题已知A为三阶方阵，且EA,2EA和3EA均不可逆。证明：r(E+2A)=3。卜一、证明题设四，ot2,，/-1是n维向量空间Rn中的线性无关的列向量组，又知列向量0,份与%,a2，中的每个向量都正交。证明：向量组自，但线性相关。
