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1、锐角三角函数（第一课时）杭州市西湖区第十五中学 张筠珏一 学情分析：学生已有的知识水平：直角三角形三边、三内角关系，函数相关知识，相似三角形的相关知识，在直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，等腰直角三角形三边关系，含60角直角三角形三边关系学生已有的能力水平：初三学生已经在前面的学习中具备了一定程度的探究、合作的能力学生已有的情感水平：在之前有关直角三角形以及函数知识、相似三角形的研究过程中，学生已经具备了对数学源于生活、高于生活的一定程度的认识二 教材分析：地位与作用：本节课是浙教版九下第一章的第一节第一课时，尽管是一个开篇，但是事实上却是九上最后一章相似三角形的一个延续性学习；同
2、时，本章研究的是解直角三角形，而锐角三角函数内容又恰好是搭起边、角桥梁关系的最重要的环节，因此本节课在整个知识体系中起着承上启下的作用。此外，本节课的课题名字不是正弦、余弦和正切，而是锐角三角函数，说明在课本中，本节课的目的旨在建立函数关系，而不仅仅是简单的概念的理解和相关的计算，同时也能够在具体问题中初步建立直角三角形边角关系。教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念教学难点：锐角三角函数的概念区别于以往的函数定义三 教学目标：知识目标： 1. 经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，形成正弦、余弦、正切、三角函数的定义2. 经历探索直角三角形的边角关系的过程，建立直角三角形的边角
3、关系3. 经历运用正弦、余弦、正切以及直角三角形的边角关系的过程，初步学会求某一锐角的三角函数值能力目标：1. 经历三个知识目标的探索过程，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。情感目标：1. 使学生体验数学活动中充满着探索与创造，并使之能积极参与数学学习活动四 教学策略：本节课采取从生活到数学（提出问题）从实际到抽象（动手实践）从旧识到新知（明确定义）从定义到实践（例题展示）从模仿到归纳（练习拓展）从课堂到经验（课后反思）这样的流程展开研究型学习；在整个课堂中倡导以学生实践为主，以提升学生已有知识体系为根本的课堂氛围。重在学生的知识建构、过程探索，让学生明白为什么要活动，充
4、分体会活动的必要性。让学生在与原有函数概念的类比中体会函数是用来解决边角关系的，以及帮助学生理解什么是边角关系、为什么要建立边角关系。五 教学过程：一 提出问题，明确目标同学们有没有坐在汽车里上过盘山公路？在坐车往上走的时候你有没有思考过：我沿着盘山公路走了多远？我到底升高了多少？今天这节课，就让我们走进盘山公路，体会数学的魅力吧！让我们一起来分析一下刚才的问题，我们想要了解的是在盘山公路上自己升高了的高度，但是在实际生活中这个高度可以测量吗？既然这个问题无法直接得到结果，我们只好寻求其它的办法了。由于盘山公路路面比较复杂，不利于我们的基础研究，因此，我们从简单一点的坡面入手。这是贯穿杭州南北
5、城的中河高架桥的一段引桥，分析：1. 为了描述问题方便，我们把这个实际问题具体刻画成这样的一个数学模型，在这里你找到了什么图形呢？【直角三角形】2. 在我们现在的知识体系中，直角三角形三边有等量关系吗？三内角呢？【勾股定理、锐角互余】3. 那么边和角之间有没有关系呢？这就是我们今天这节课的主要目的建立直角三角形内的边角关系。能为后面的课提供一个工具，用以解决和直角三角形有关的实际问题。4. 首先明确，在现实中一个坡面的坡角是可以用特定工具测量的5. 为了便于我们的进一步研究，将图片简化成一个如图1（1）的锐角，当汽车行驶到B点时，它升高的高度就是图上的BC（如图1（2） 图1（1） 图1（2）
6、2(2)设计意图：从实际生活中的现象引入，从实际问题考虑当直角三角形有两边不可测而角度可测时，要求第三边长度，当条件紧缺的时候，我们只能去探究角与边之间的关系，让学生体会到原有知识已经不足以解决新问题，必须想办法找到新的途径来研究。本引入的目的旨在让学生深刻体会到边角关系建立的必须，从而激发学生探究边角关系的真正热情。并在最后点明本节课要研究的内容以及本节课与后面课程的关联提供计算工具二 动手实践，寻找规律1. 由经验得到：（1） 先从特殊值入手。当这个角度为30时， BC和AB之间有怎样的关系？【30角所对的直角边是斜边的一半，得到】如果将它写成比例的形式，则有。当汽车再往前行驶到点B的时候
7、，这个比值还成立吗？【依然成立：】再往上行驶呢？【比值依然不变】也就是说当角度保持30时，经验告诉我们一直成立。当A=30时，（2） 当角度改变成45时，根据你的经验比值还是吗？这时比值变为多少？【】呢？【】与相等吗？【相等】当A=45时，（3） 当角度改变成60时呢？这时比值是多少？【】呢？【】与相等吗？【相等】当A=60时，由以上结果我们可以得到，当角度不变时，比值不变；当角度改变时，比值也在改变。这三个角度都是我们非常熟悉的角度，我们都能凭经验得到，但如果我把角度再进一步改变成15或者50呢？这时你还能凭经验得到比值结果吗？这时我们需要借助数学实验。2(4)2. 由实验得到：明确任务：利
8、用实验的方法找到15和50时的比值，需要在角的一边上取一点B，过点B作BCAC，测量出BC和AB的长度，求出它们的比值。请你在2分钟限时里在工作单上完成实验（15、50角的比值探究、结合前三个角度寻找变化的规律），在这段时间里，你可以与你周围的同学进行自由讨论，2分钟后请你来谈一谈你的收获。【音乐声响起开始，音乐声结束停止】【当山坡与水平面的夹角为45，；当山坡与水平面的夹角为60，；当山坡与水平面的夹角为75时，必须经过测量，估计得到比值约为0.97，15时约为0.26；当角度不变时比值不变；当角度改变时比值改变角度不变比值不变，角度改变比值改变】4(8)3. 刚才的结论只是我们的猜想，接下
9、来让我们试着来验证一下4. 由推理得到：当角度变为时，边是无法测量的，我们可以用什么知识来验证比值与相等？【相似三角形对应边成比例】经过推理，我们可以肯定的说：当角度不变时，比值不变；5. 由动态图形得到：当我们把AB边长固定时，（几何画板演示）随着角度的增大，此时我们能够更清晰的看到比值也在改变，于是我们验证了当角度改变时比值也随之改变。2(10)设计意图：合作学习分四个层次进行，第一个层次是停留在原有知识体系中即“直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半”以及含45、60角的直角三角形边长关系；当角度变成15、50时，让学生再一次体会到自己原有知识的匮乏，只能经过测量来发现问题；当角度
10、再一次改变时，直接的边角关系已更不明显了，此时，学生就不得不思考是否该换思路改成使用相似的知识解决问题；第四个层次是为高中的单位圆中的研究打下伏笔，从具体的比值变化中，让学生体会比值随着角度的改变而改变三 新知探究，明确定义 由前面的两方面的研究，我们知道了比值随着的改变而改变，这一说法我们在学习哪个知识点的时候接触过？【函数】因此，我们称比值是锐角的函数。 和以往的函数一样，我们给它起一个名字：比值叫做的正弦，记做sin ，即，注意：在这里sin是一个符号，在sin和中间没有任何符号连接，不能写成sin的形式，并且此处的“”一般省略不写。 刚才的研究中，同学们已经找到了许多的比值，我们回过头
11、去看看，其实就是在找什么值呢？【30的正弦、45的正弦、60的正弦、15的正弦、50的正弦】那么我们就把30的正弦记做sin30，请你在工作单中具体写出这些值，（精确到0.01），并从中找到规律【，当角度增大时正弦也在增大，但是不会超过1】2(12)刚才我们发现了比值是锐角的函数，而在直角三角形中，线段两两组合能够找到3种组合、6种不同的比值，它们也是随着锐角的改变而改变（几何画板演示） 比值叫做的余弦，记做cos ，即 比值叫做的正切，记做tan ，即由于另外的三种比值只是这三个比值的倒数，它们将在以后的学习中陆续接触到，在初中阶段我们只研究这三个比值。锐角的正弦、余弦、正切统称为的三角函数
12、这是一类新的函数，我们前面已经研究过两大类函数，一次函数、二次函数它们都有解析式，今天我们研究的三角函数与它们不同，它刻画的是角度与比值之间的关系，这种对应关系无法用解析式来表示，因此我们用sin、cos、tan这些符号来表示。如果要找到纯粹的函数关系式，其实可以将它写成的形式，只是这当中的函数值的计算方法需要借助一对比值即，我们将在高中阶段进一步研究这种形式的三角函数。3(15)设计意图：课本中是直接给出三种比值的函数名称，但是在实际问题中，三者的地位并不是一致的，更多时候是根据实际问题的不同，选择的切入点不同，如果是将三个函数一同引入，则会让学生有一种知识容量过大的感觉。因此在这个新知得到
13、的过程中，设计时是将问题先集中在其中一个三角函数中，从引例中一气呵成，自然得到了正弦的定义。在解释“比值是锐角的函数”这句话时，第一次回顾了原有的函数知识，旨在让学生明确三角函数也是一种函数，它的定义与函数定义不相违背在刚才的研究中，一直都只是围绕着一个直角三角形ABC在做文章，也就是说在这个图形中，边上的两条射线是多余的，那么我们就把这多余部分擦去，重点将目光锁定在这个直角三角形中。 前面我们得到了三个三角函数：，但是当我们把字母改变以后，比例式就会跟着改变了，你能不能用更一般的方法来表示呢？（提示：找一找BC与A的关系，AB是什么边？）于是我们将三边重新命名：BC叫做A的对边，AC叫做A的
14、邻边，AB仍然是斜边，那么sinA可以表示为：【】； A的其它三角函数呢？【，】在这三个公式中，我们把直角三角形的三条边和一个内角联系在了一起，于是前面我们想要得到的目标在直角三角形中建立边角关系，就已经建立起来了。当然了，我们建立的这层关系并不只是一种简单的等量关系，事实上是建立了A的函数和边之间的关系。如果我们想要建立的是B与边之间的关系，可以吗？在前面的关系中，BC是A的对边，那它现在是不是B的对边呢？如果不是，B的对边又是谁呢？B的邻边呢？请你利用1分钟时间，熟悉一下这三个三角函数在直角三角形中的表示方法，不看黑板在自己工作单中写出B的三角函数表达式【，】我们已经有了很多的知识装备了，
15、接下来就让我们一起用它们来解决问题吧！3(18)设计意图：前面的三角函数的定义是落实在函数层面，但是在我们的计算、应用过程中更多的是将三角函数落实在直角三角形中，因此，将锐角放回到直角三角形内部有助于学生今后在计算三角函数中的图形建模四 练习拓展，层层递进 例1.在RtABC中，C=Rt，AB=5，BC=3，求锐角A的各三角函数值（先板书、再列表口算训练）（课本P5例1.）分析：这是课本上的一个例题，课本中是给出图形的，现在考考聪明的同学们不看书，你知道课本上给的是什么图吗？【自己构图】要求三角函数值在公式中涉及到三条边，现在只有两条边，怎么办？【勾股定理】（构图）解：C=Rt，AB=5，BC=3， 接着请同学帮老师一个忙，请你填完这张表格，求出锐角B的各三角函数值（口答填表）正弦余弦正切AB 观察上表，你能得到什么实用的结论吗？【当AB90时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanAtanB1】2(20) 变
