第17章多变量积分学.doc

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1、多变量积分学前言正如定积分源于平面几何图形的面积计算一样，多元函数的积分学产生背景也是人类在认识自然的活动过程中所遇到的各种几何或物理问题。例1：质量分布问题1）平面图形上质量的分布： 设平面区域上分布有质量（密度非均匀），计算其质量。首先将其抽象为数学问题，即进行数学化处理：将平面区域放在二维坐标系中，对应区域仍记为，设已知密度函数，求质量。我们从最简单的情况出发，逐步得到一般情况下的公式。这是解决实际问题的一般程序。i)、特殊情况 最简单、特殊的情形是均匀密度的质量分布，此时，故（为之面积）。ii)、一般情况 现在设考虑非均匀密度的质量分布。设密度函数为，如何求质量？ 常规的思路：将一般、

2、复杂的情形转化为简单、特殊的情形来处理。 方法：分割近似求和法。 具体过程：1、分割：，则当分割很细时，（密度）在上变化不大，因而，可在上视为常密度的均匀质量分布，对应的质量块可由i)中的公式近似计算。2、近似计算：任取，则，（这里也代表的面积），因而。3：取极限：采用定积分思想，可设想：，为分割细度。这样，平面上质量分布问题在数学上就是上述形式的二元函数的和式极限问题。2）、空间区域的质量分布： 类似，在一个空间区域上密度非均匀的质量分布问题，也可表示为类似的上述极限问题：，其中，V是对应于3D坐标系下的空间区域，定义在V上为已知的密度函数，为分割后的第个小区域，为分割细度。 数学上：空间区

3、域的质量分布问题是三元函数的和式极限的问题。3）：空间曲线（曲面）上的质量分布：类似的方法，可以给出其他情况下质量分布的计算公式。空间曲线的质量分布：； 空间曲面的质量分布： 上述问题的结果具有共同的实质，数学上，它们都是多元函数某种和式的极限问题。相似的问题还出现在几何问题中。例2：计算空间区域V的体积V。 类似平面任意几何图形的面积的计算。将空间区域V放在3D坐标下，作其在面内的投影区域，以为准线，平行于轴的直线为母线作柱面，它与V有一条交线，通过作V 的表面分为上半部分和下半部分，则V的体积可转化为以为顶，以为底的曲顶柱体的体积减去以为顶，以为底的曲顶柱体的体积。因此，V 的体积的计算就

4、转化为曲顶柱体体积的计算，为此，我们先计算如图曲顶柱体的体积。已知曲顶所在的曲面方程为z=f(x,y),曲顶在xoy坐标平面的投影区域为，计算此曲顶柱体的体积V。仍采用积分思想。由于与此相近的柱体的体积计算公式是已知的：底面积高。故，可以通过分割近似求和来处理。 分割：； 对应曲面S有一个分割：，任取，对应的体积可用柱体体积来近似： ,故，这和平面区域上质量的分布计算公式具有相同特征。 由此可以看出：物理上和几何上都提出了在数学上实质相同的一类问题，把其具体的背景去掉，抽取其数学上的本质，进行研究，并作出相应的推广，就形成了相应的数学理论，这便是多元函数的积分学。 因此，上述质量问题用多元函数

5、的积分表示为： -二重积分 -三重积分 -第一类曲线积分 -第一类曲面积分 还有一类物理问题产生更复杂的多元函数的积分类型。例3：变力做功问题。 设质点在变力的作用下，从空间A点沿曲线移动到B点，计算变力的功。已知常力作用在质点使之沿直线从A 点移动到B点，则做功为：，利用上述思想，可计算变力做功。对路径曲线作分割,在每一小段上近似为常力做功，故，记，且，则，故， 这又是一种和式的极限，这种和式的极限也对应于一种多元函数的积分：第二类曲线积分： 。类似还可引入第二类曲面积分：。所有上述各种积分，就形成了多元函数积分学的主要内容，我们将逐次介绍以上各种积分的定义性质、计算方法和相互间的联系。第十

6、七章 重积分 本章介绍重积分的概念和计算，重点以二重和三重积分为例。1 二重积分 正如在定积分中，我们首先引入 常义定积分：即被积函数有界，积分区间有限。所谓区间有限，是指对应函数轴上的线段是可求长的，这在一维空间中是很明显的事实。在讨论二重积分时，也涉及到与定积分中线段的可求长的类似问题，即平面图形的面积可求性问题。事实上，正如我们引言中初步提出的那样，二重积分实际是如下和式的极限：，显然，取，（应存在），因此，曲域的面积应该是可求的。 那么，一个平面有界区域的面积是否可求？用什么标准来衡量可求性，这是我们在介绍二重积分前应解决的问题。一：平面区域的面积。 设是有界的二维平面区域，考虑其面积

7、的可求性。 由于有界，因而存在矩形，使。分割：；分割：过这些分点分别做坐标轴的平行线，就形成了关于区域R的一个矩形分割T：即T将R分割成若干个小矩形块：，利用这些小矩形块与区域D的关系，将其分为三类：（1）：；（2）：中既有D中的点又有非D中的点；（3）：。记第一类小矩形块的指标集为：； 第二类小矩形块的指标集为： 。又记，其中为的面积。显然：，其中为R的面积。（类似定积分中的达步上、下和，成立类似性质：加细时，不增，不减，且）记：，二者显然存在，且，常称为D内面积，为其外面积。定义1：对平面区域D，若，称D是可求面积的且其面积。由于平面区域的面积可用定积分来表示，因而，利用定积分可积的达布的

8、充要条件形式，可得：定理1、（可求面积的充要条件）平面区域D可求面各的充要条件是：分割，使。证明：必要性：设平面区域D可求面积，且其面积为，则由定义：，因而：，使；，记，则：，因而，故：。充分性：设使，则由于，故，由任意性，则，即D是可求面积的。 我们知道：线段有长度而没有面积，曲线是否也是如此？注意到平面有界区域的边界是曲线，能否用边界曲线的面积是否为0来刻划区域的面积可求性？定理2：平面有界区域D可求面积的充要条件是边界曲线的面积为0。证明：由定理1，注意到边界曲线的面积满足：即可。注：平面曲线的面积并不一定为0。Peano 发现将实数轴上的闭区间映射平面上的一个二维区域（如正方形）的函数

9、，因而这条曲线在平面上的面积并不为0，这条曲线称为Peano曲线。 但可证明：平面上光滑或分段光滑的连续曲线，其面积为0。注：今后涉及到的平面区域都设为可求面积的区域。二：二重积分的定义和性质 从引言中可知，这类积分的背景源于几何中曲顶柱体的体积的计算。当然，在物理及工程技术领域中经常遇到类似的问题，如求非均匀密度的平面质量分布、重心、转动惯量等问题。这些问题尽管实际的背景不同，从数学上具相同的本质，都可以转化为某种和式的极限即二重积分。下面，我们从数学上给出二重积分的定义，并进一步研究其性质和计算。设D是平面上的可求面积的有界闭区域，为定义在D上的函数。是D的分割，记为之面积，直径，为分割细

10、度，任取，作和式：。定义1、设I是一个确定的实数，若，使任意分割T：只要，都成立：，称在D上（二重）可积，I称为在D上的二重积分，记为。注：由定义 ，注意到的面积含义，则二重积分实际是对面积的积分。注：常用的分割为平行于坐标轴的矩形分割，故此时，因此，二重积分也常记为：。其中：为被积函数，为积分变量；为积分区域。几何意义：1）、时，为曲顶柱体之体积。2）、时，。类似定积分可引入Darboux上、下和，由此刻划可积性，记 ，则：1）在D上可积等价于；2）若在可求面积的有界闭域D上连续，则必可积。3）若在可求面积的有界闭域D上的不连续点至多落在有限条光滑曲线段上，则可积。注：以后积分区域D都视为可

11、求面积的有界闭区域。性质：1）线性性质；2）对区域可加性：，（无公共内点）3）保序性：，则；4）绝对可积性：若可积，则也可积，且；5）中值定理：若，则存在，使。其中为D的面积。作为性质的应用，考察一个例子。例1、设在可求面积的有界闭域D上非负连续且不恒等于0，证明： 。 证明：由条件，必存在点，使得，由连续性，存在邻域，使得，由积分性质。2 二重积分的计算根据解决问题的普遍性方法，总是将未知的待求解的东西转化为已知的东西；我们知道：已知的与积分计算有关的内容是定积分，因而，二重积分计算的主要思想：将其转化为定积分来计算，即将二重积分转化为两个定积分-累次积分。一、 化二重积分为二次积分仍采用从

12、特殊到一般、从简单到复杂的思想来进行。1、矩形域上的转化：问题：设D为矩形域，即，在D上可积，计算。思路分析：以二元函数为被积函数的积分形式，我们在含参量的积分中已遇到过，其中我们曾涉及到两种形式的累次积分：，很显然，这两个积分具有特点：1）对两个变元都进行了积分；2）积分区域跑遍了整个D；3）被积函数为；4）能够通过计算两个定积分将其计算出来；5）在一定条件下，如连续，则二者相等。前三个特点是二重积分也具备的，因此，后两个特点就是提示我们考虑如下问题：三者之间什么关系？能否将二重积分化为累次积分计算？回答是肯定的。定理1、设在矩形域可积，且对，含参量积分存在，则累次积分也存在且。分析：由于二

13、重积分只有一个定义，因此必然从定义出发，考虑其关系的证明。证明：对D作矩形分割：记，,为分割细度。 由定义则，。 ，其中。故要证明等式，只须比较三者之关系。用形式统一方法，将单重和转化为双重和。由于，且则， ，两端乘，关于求和：，注意到时，上式中令，且由于在上可积，即，则，由夹逼定理，即：。证明完毕。推论1：设，则。2：-型区域上的转化。 将上述结论逐步推广，先推广到特殊的-型区域上，设D是可求面积的平面区域。定义1、若D可表示为：，称D为-型区域。注：由定义可知：所谓的-型区域，从几何上看，是指其具有两条平行于轴的左、右直线边界，有两条上、下的曲边边界，有时，直线边界可能退缩为一点。如图：注

14、：定义中：是定义在上的两个连续函数，因此：对应的两条上下曲边边界都是简单的曲线，即：用平行于轴的直线穿过区域时，直线与上、下两条曲线至多各有一个交点，即排除如下的区域：注：确定边界方法：（1）先确定区域的左右直线边界投影法。将区域向x轴作投影，投影区间为a,b，则直线x=a、x=b即为所求。（2）确定上下曲线边界穿线法。用平行于y轴的直线从下到上穿过区域，先交与某曲线进入区域，则此曲线为下边界曲线，后交与某曲线穿出区域，则此曲线为上边界曲线。定理2、设在-型域D上可积，则。思路：转化为情形1。通过补充定义，将函数延拓到某个较大的矩形区域，实现由x型区域到矩形区域的转化，在此矩形区域上利用定理1。证明：由于，故存在，作矩形，记，则由定理1， 。3、-型区域上的转化。定义2、设，使，称为-型区域。注：与-型区域类似，-型区域具有两条平行于轴的上、下直线边界，有两条左、右曲线边界。有类似的公式。注：有些区域即可视为x-型区域，又可以视为y型区域。 定理3、设在y-型区域上可积，则。4、一般区域上的转化： 将上述结论推广到一般情形，由于我们知道1-3的结论，因此，一般区域上的二重积分的计算，关键在于能否建立一般区域