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1、椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) . 2.椭圆的标准方程：（0） （0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为不必考虑焦点位置，求出方程。3.范围. 椭圆位于直线xa和yb围成的矩形里|x|a，|y|b4.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心5.顶点椭圆有四个顶点：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b)线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴
2、.。长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. |B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a在RtOB2F2中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b26.离心率7.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（ab0）的焦半径公式,( ,).9.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。考点一 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程； 例2.假如方程表达椭圆，则的取值范围是 例3.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于 ；例4.设圆的
3、圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ；考点二 椭圆的方程 例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；例2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且通过两点、，求椭圆的方程；例3.求通过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；例1.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；例2.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； 例3.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； 例4.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点
4、的横坐标为，求此椭圆的方程； 考点三 焦点三角形问题例1. 已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；考点四 椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为 例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例3.若椭圆的离心率为，则 ；例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 考点五求范围例1.方程表达准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；考点六.椭圆的第二定义的应用例1. 方程所表达的曲线是 例2.求通过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆
5、上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为 例4已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。例5已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点求的最小值及相应的点的坐标考点七 求离心率例1. 椭圆的左焦点为，是两个顶点，假如到直线的距离为，则椭圆的离心率 例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 例3. 、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 ；考点八椭圆参数方程的应用例1.椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标 例2.方程()表
6、达焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；考点九直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当为什么值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。 （二）弦长问题例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，若，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例
7、1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.（1）用直线的斜率表达的面积；（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例1.已知椭圆，试拟定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； 例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直线倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。考点十.最值
8、问题F2F1M1M2例1若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆的左焦点。例2,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。例3求定点到椭圆上的点之间的最短距离。3.三角函数法例4求椭圆上的点到直线的距离的最值；4.判别式法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。例5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）例6已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）的最小值； （2）的取值范围考点十一. 轨迹问题例1到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A椭圆 双曲线 直线 线段例2已知点，点在圆的上半圆周上(即y0)，AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。例3.已知圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。题型十二.椭圆与数形结合例1 关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.
