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1、 2015年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1. 全集，集合，则 2. 已知复数满足，(是虚数单位)，则复数的共轭复数= .3. 已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 （第5题图）While End WhilePrint b4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图已知从左到右各长方形的高的比为234641，且第二组的频数为180，那么该
2、月共销售出的鲜花数(单位：支)为 日期频率组距051015202530(第4题图)5. 如图程序运行的结果是 6. 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 7. 给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面则其中所有真命题的序号是 8. 已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则= 9. 设实数x，y，b满足，若z2xy的最小值为3， 则实数b
3、的值为 10. 若则的最小值为 11. 在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围为 12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为 13三次函数的两个极值点为且重合，又在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_.14. 设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15(本小
4、题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .（1）求；（2）若ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.16(本小题满分14分)在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，为侧棱上的一点.（1）当四面体的体积为时，求的值；（2）在（1）的条件下，若是的中点，求证：17（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近 的一点，为圆周上靠近 的一点，且现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.(第17题图)（）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域； （）求观光路线总长的最大值. 18（本小题满分16
5、分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.19（本小题满分16分）已知函数.（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.20（本小题满分16分）已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，am
6、和正数b1，b2，bm，使a，a1，a2，am，b是等差数列，a，b1，b2，bm，b是等比数列（1）若m5，求的值；（2）若ba(N*，2)，如果存在n (nN*，6nm)使得an5bn，求的最小值及此时m的值；（3）求证：anbn(nN*，nm)第卷（附加题，共40分）(第21-A题图)ABPOEDC21选做题本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A（选修：几何证明选讲）如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，求证：PDE=POCB（选修：矩阵与变换）若二阶矩阵满足：.(）求二阶矩阵；(）若曲线在矩阵所
7、对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.C（选修：坐标系与参数方程）已知点（其中，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线上()求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;()当时，求曲线与曲线的公共点的极坐标D（选修：不等式选讲）已知x，y，z均为正数求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22（本小题满分10分）从集合中任取三个元素构成子集（1）求中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；（2）记三个数中相邻自然数的组数为（如集合中3和4相邻，4和5相邻，），求随机变量的分布率及其数学期望.23（本小题满分10分）设整数3，集合P1，2，3，n
8、，A，B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数 （1）求a3； （2）求an2014年高考模拟试卷(4)参考答案南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160分）一、填空题1.； 2.； 3； 41200； 514； 6； 7 ； 8 ； 9 ； 10.【解析】，当且仅当时，取等号； 11 . 【解析】 以CA、CB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，则xy2，y2x，即M(x, 2x)，又MN，所以点N坐标为(x1，2x1)，即N(x1，1x)，于是x(x1)(2x) (1x)2x22x2(0x1)，所以x时取最小值，x0或1
9、时取最大值2，因此的取值范围为； 12.【解析】当P在圆C上运动时APB恒为60，圆M与圆C一定是同心圆，可设圆M的方程为(x1)2y2r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MHHP2，MH，AB2，所以22，解得r1，所以所求圆M的方程为(x1)2y21；13.【解析】设，依题意知，故，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为. 由Q为的一个极值点得，显然，存在最大值，数形结合可求得，其最小值为.1492【解析】易知d=0，成立当d0时， 又 ， ，所以公差d的所有可能取值之和为92二、解答题15 (1)因为,即, 所以, 即 , 得 ， 所以,或(不成立). 即 , 得 ；
10、 (2)法一：由. 因, 故 ， ，. 法二： ， ， . 16（1）设，设作于，且为交线，则，又， 在中， ， ， 解得.（2）取中点，连结，则 ， 则， 而为平面内的两条相交直线，而， 【注】第（2）问，也可以连结ED，ED交CP于Q，用平几知识证明Q为ED中点，进而证明OQBE，从而获证. 17(1)由题意知， ，因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以,所以 ， .(2)记,则， 令，得， 列表x(0，)(，)0f (x)递增极大值递减所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值， 即， 答：观光路线总长的最大值为千米 18（1）设，其中，由,得.从而故.从而，由得，因此.
11、所以，故.因此，所求椭圆的标准方程为.（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知,， 由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.当时，重合，此时题设要求的圆不存在.当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设由得而故.圆的半径.综上，存在满足条件的圆，其方程为.19.（1）由得，因在区间上不是单调函数.所以在上最大值大于0，最小值小于0,，.(2)由，得,，且等号不能同时取，即.恒成立，即.令，求导得,当时，从而.在上是增函数，.(3)由条件，,假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧,不妨设，则，且,是以为直角顶点的直角三角形，,
12、 是否存在等价于方程在且是否有解.当时，方程为，化简，此方程无解；当时，方程为，即设，则,显然，当时，即在上为增函数.的值域为，即，当时，方程总有解.对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上.20（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d，qa3a3d，b3aq3 因为，所以2a52b0，解得4或 （2）因为aa(m1)d，所以da，从而得anaan 因为aaqm1，所以q，从而得bna 因为an5bn，所以aaa 因为a0，所以1（*） 因为，m，nN*，所以1为有理数 要使（*）成立，则必须为有理数 因为nm，所以nm1 若2，则为无理数，不满足条件 同理，3不满足条件 当4时，42要使2为有理数，则必须为整数 又因为nm，所以仅有2nm1满足条件 所以12，从而解得n15，m29
