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1、微分几何答案彭家贵陈卿彭家贵微分几何习题一（P13） 2.设是向量值函数，证明：（1）常数当且仅当；（2）的方向不变当且仅当。（1）证明：常数常数常数 。（2）注意到：，所以 的方向不变单位向量常向量。 若单位向量常向量，则。 反之，设为单位向量，若，则。由为单位向量。 从而，由常向量。所以，的方向不变单位向量常向量 。即 的方向不变当且 仅当。补充：定理 平行于固定平面的充要条件是。 证明：若平行于固定平面，设是平面的法向量，为一常向 量。于是， 。：若，则。若 则方向固定，从而平行于固定平面。若，则。令则 3.证明性质1.1与性质1.2。 性质1.1（1）证明：设，则（2）证明：设，则 （
2、3）证明：设，则 同理， 所以，。性质1.2证明：（1） 证明：（2） 4.设是正交标架，是 的一个置换，证明：（1）是正交标架； （2）与定向相同当且仅当是一个偶置换。（1）证明：当时，；当时， 所以，是正交标架。（2）证明：A）当 B）当 C）当 D）当，此时，；E） 当 F） 当 所以，与定向相同当且仅当是一个偶置换。习题二（P28）1.求下列曲线的弧长与曲率：（1）解：所以， 2.设曲线，证明它的曲率为 证明：3.设曲线C在极坐标下的表示为，证明曲线C的曲率表达式为 证明：所以，；因此， 4.求下列曲线的曲率与挠率4）解：；所以， ；o5. 证明：的正则曲线的曲率与挠率分别为 ，。证明
3、： 根据弗雷内特标架运动方程 ，得： 所以，。6证明：曲线 以为弧长参数，并求出它的曲率， 挠率与Fre标架。证明：1） 所以，该曲线以为弧长参数。 由及 得 所以， 2）；，。3）所求Fre标架是，其中，。10.设是中的一个合同变换，。是中的正则曲线。求曲线与曲 线的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。解：（1） 可见，与曲线除相差一个常数外，有相同的弧长 参数。（2）可见，与曲线有相同的曲率。（3）可见，与曲线的曲率相差一个符号。13.（1）求曲率（是弧长参数）的平面曲线。解：设所求平面曲线因为是弧长参数，所以 可设，由曲率 的定义，知 所以，所求平面曲线。20.证明：曲线与曲线是合同的。 证
4、明：1）对曲线作参数变换，则。 可知是圆柱螺线，它的曲率和挠率分别为，。因此，只要证 明曲线的曲率，挠率，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过 刚体运动彼此重合。2）下面计算曲线的曲率与挠率。由， 进而 。21.证明：定理4.4 定理 4.4 设是连续可微函数，则 （1） 存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率；（2） 上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。 证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组 给定 初值，其中是中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及， 则由微分方程组理论得，有唯一一组解满足初始条件：o若为所求曲线，则必是它的Fre标架。因此，我们首先证明 均是与自然定
5、向相同的正交标架。将微分方程组改写成 其中 。 是一个反对称矩阵，即令 对求导，并利用有： 表明是微分方程组 的解。定义则 且 即 所以，是微分方程组的解。注意到：，所以是微分方程组 满足初始条件的唯一解。从而 所以， 均是正交标架。由于是关于的连续函数，且。故由 知， 。可见， 均是与自然定向相同的正交标架。 于是由微分方程组有：，这表明为弧长参数。从而由推出是单位切向量。由推出是 曲线的曲率，从而由推出由，即是单位正法向量。可见，微分方程组的满足初始条件： 唯一一组的确表明：存在平面的曲线，它以为弧长参数，为 曲率，当是连续可微函数时。再证明（2）：设与是平面中两条以为弧长参数的曲线，且定
6、 义在同一个参数区间上，。则存在刚体运动 把曲线变为，即。证明开始：设，考虑两条曲线在处的Fre标架 与。 则存在平面中一个刚体运动把第二个标架变为第一个标架， 即与在处的Fre标架重合。因此我们只须证明当曲线与在处的Fre 标架重合时，。曲线Fre标架的标架运动方程为 这是一个关于向量值函数 的常微分方程。曲线的Fre标架与的Fre标架都是微分方程组的 解。它们在处重合就意味着这两组解在的初值相等，由解对初值 的唯一性定理立即得到。定理证明完成。习题三（P68） 2 （1）是什么曲面？解：4.证明：曲面的切平面过原点。 证明：无妨假定方程确定一个的隐函数，于是 设，则 所 以，处的切平面为
7、易见，当时，有：所以结论为真。6.证明：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向 量的全体。证明：设曲面的参数方程为，。令为参数区域中过则的参数 曲线，为曲面上过点的曲线。于是 这表明曲线过点的切向量都 可由与线性表出。可见过点的切向量都在过点的切平面上。另一 方面，对于任意切向量 ， 在参数区域中取过且方向为的参数 曲线 则此时， 从而 。这表明：在点的切平面中每一个向量都是过点的某一曲线的 位于点的切向量。于是：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向 量的全体。25.求双曲抛物面的 Gauss 曲率，平均曲率，主曲率和它们所对 应的主方向.解：由， ，。， 其中 。由，。于是
8、Gauss曲率:， 平均曲率：o因为，所以 ， 所以主曲率： 对应的主方向为 ， 其中 . 所以 。同理，另一个主曲率：， 对应的主方向为 。注：设为外恩格尔登变换，则 。补充：定理 （1）函数是主曲率的充要条件是 。 （2）方向 d = du:dv 是主方向的充要条件是 。 证明：（1）设是对应的主方向，则有，即 。 分别用与上式两边作内积，得 ，。所以主方向满足由于不全为零，可得 （2）在脐点，。从而由可知，中的两个方程成为恒等式。此时，任何方 向都是主方向。在非脐点，分别用和代入 得到相应的主方向 和 。 将 改写成由于不全为零，有。28曲面上的一条曲线称为曲率线，如果曲线在每一点的切
9、向量都是曲面在该点的一个主方向。证明：曲线是曲率线当且仅 当沿着，与平行。证明：设为外恩格尔登变换，则 。所以，曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行。29.设是曲面的一个参数表示，证明：曲面的参数曲线和 是 曲率线的充要条件是。证明：曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的 切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点， 同理，曲面 的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面 在该点的一个主方向曲线在每一点， 显然，(假若，则矛 盾！)。从而 。所以，曲面的参数曲线和是曲率线的充要条件是。35.若曲面是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写 成 ， 这个曲面称为Scherk面。证明：设曲面的参数方程为，则 ，。因此， ，。由得到，即 。上式可化为(1)由于上式左边是的函数，右边是的函数，故只能是常数，设此常数为。当时，由(1)可知，其中是常数。于是该极小曲面是平面，其中。(不是 Scherk 曲面) 下面 设。由(1)得，令，即。则有 。于是。在轴方向作一平移，可设，从而，积分得 。 同理，由可得 。于是 。
