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1、如：奇函数f(x)在R上为减函数，若对任意的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 显然结合题意，问题清晰的展现为恒成立，进而变为恒成立，则.4。设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n2，若当 时有意义, 求a的取值范围。分析与解：因为分母n是正数，要使得当有意义，分子就必须也是正数。并容易看出，可以将a分离出来。当时，有意义，故有令，只要对在上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a。由时，有意义得：，由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是，故 8已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意，求实数m范围，使 恒成立。 f(x)在R上为奇函数，且在
2、上是增函数， f(x)在上为增函数又 即 2， 2 m令2， m4即4m在上恒成立，即求在上的最小值 2等号成立条件t=,即成立， 4m4， m的取值范围为（4，）4.1 分离变量的推广 上述讨论的分离变量主要是针对两个变量进行分析.在实际解题过程中,有一部分题目是关于多个变量的不等式恒成立、不等式存在解的问题.如何处理这种问题?是否有更一般的分离变量法?下面通过两个例题对该问题进行探讨.例4.已知函数. 设若不等式对任意恒成立,求实数.【分析】这个问题是恒成立问题,不等式中有3个变量,由题意不难理解到,由于对左边函数的最值相互影响,因此，对该二元函数可以通过换元或者消元成为一元函数进行求解.
3、由只需另,即求的最小值原问题等价于恒成立,从3个变量转化为了两个变量的恒成立问题,问题得以解决.例5.函数的定义域为，其中为任意正实数，且.（1）写出的单调区间（不必证明），并求函数的最小值、最大值；（2）若其中是正整数，对一切正整数不等式都有解，求的取值范围.(第一问结果,)【分析】 第二问：“一切”表明对恒成立,“有解”表明对有解,不等式有四个变量,两重含义,通过分析,有解是第一重,恒成立是第二重.(1)考虑第一重, 三个变量,而三个变量所在函数均是相互独立的,即很明显，上述三个函数的最值相互不影响.由不等式有解得,左边和函数的最小值右边的最大值,即 (2)考虑第二重, 两个变量所在不等式
4、恒成立,应用定理1.1即可.通过上述两个例题的解析，我们不妨给出一个更广泛的定义.例1.已知函数设在区间中至少有一个极值点，求的取值范围。解法1：（利用方程根的分布知识解决）因为，所以。在区间中至少有一个极值点，即在中至少有一个根，根据方程根的分布知识，有：或者，解得：，无解。因此的取值范围是.观察导函数的特点，可知它过定点，且的两根之积为1，所以，当的根一个过点或点时，两一个根分别为，显然不在内。思路2：利用变量分离思想解决。若导函数在内没有零点，则有以下两种情况：在内恒成立即在内恒成立。易知当时，所以，此时有。在内恒成立即在内恒成立。易知当时，所以，此时有。所以，当在区间中有极值点，即或者
5、在内恒成立时，有或者。从而，当在区间中至少有一个极值点时，的取值范围是。点评：这种解法中，把分离出来以后，转化成了求或者在内恒成立的问题，也是学生熟悉的函数基本题型，遇上一种解法比较，显得更为简捷，有效率。思路3：分离变量，建立函数，求给定范围内的函数的值域解：函数在区间中有极值点，等价于方程在中至少有一个根，转化成函数，要求的取值范围即是要求该函数的值域即可，当时，因此的取值范围是。（2010年全国文科）已知函数（）当时，求的极值；（）若在（-1，1）上是增函数，求的取值范围解 （）省略请参考高考答案（）因为所以当时，为增函数当且仅当即恒大于等于0 恒小于等于0即（分离参变量）得易知时，的最
6、大值为2，最小值为即亦即的取值范围是2010年全国文科已知函数（）设，求的单调区间；（）若在区间（2，3）中至少有一个极值点，求的取值范围.解：（）可参见高考标准答案（）因为若在中至少有一个极值点当且仅当方程至少有一个实数根所以由分离变量得：由于是对钩函数易知时，总是单调递增. 时，在区间（2，3）中至少有一个极值点的取值范围是（）例4、已知函数的导函数为，.（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围.解：（1） 即对一切恒成立即对一切恒成立记，则在上恒成立，在上恒大于0，在上单调递增， （2）即对一切恒成立若，则不满足 若，则对一切恒成立若，则对
7、一切恒成立 综上所述：8、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。8、分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即易求得。例1已知函数的导函数为，.（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围.解：（1） 即对一切恒成立 学生回答：解法1：即对一切恒成立 记在上恒成立有在上恒大于0，即在上单调递增 可能的陷阱：学生会回答用基本不等式去解决，利用基本不等式解决时要注意适用的条件：“一正、二定、三相
8、等、四检验”会发现取不到等号。另解：由几何画析给出的图象，知在上为增函数，所以及，变式1：若对一切恒成立，求实数的取值范围；解：即对一切恒成立 记当且仅当即时，于 另解：由几何画析给出的图象，知在上为增函数，在上为减函数，所以及，变式2：若对一切恒成立，求实数的取值范围；解：若则恒成立， 若同变式1 若则 综上所述：（学生思考回答，若有错误由学生纠正，在下结论时，也许学生会回答将以上三种情况用集合并起来，这里要重点指出，应该是用集合交起来）（3）即对一切恒成立同变式2的解法：若，则不满足 若，则对一切恒成立若，则对一切恒成立 综上所述：另解：可以用改换变量的方法去考虑，这样会更加简便，即把看作
9、关于a的一次函数，这样就得出：已知函数,.若对任意的都有，求实数的取值范围.解：即 若，则恒成立， 若，则，综上所述：一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使成立，只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立，只需使函数的最大值恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1（05湖北理）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围. 解析：由向量的数量积定义，=()+()=+=+.若在区间(-1,1)上是增函数，则有0-在 (-1,1)上恒成立.若令=-=-3()-在区间-1,1上，=5，故在区间(-1,1)上使恒成立，只需即可，即5.即
10、的取值范围是5，）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。例2使不等式-对任意的实数都成立，求实数的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令=-，则如果原不等式对任意的实数都成立等价于.又=-=4()，令=0，解得，=0或=1. 的符号及的单调性如下：(-,0)0(0,1)1(1,+)-0-0+无极值极小值因为在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即= -1，= -1，即3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例4（04辽宁）已知函数.（1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意,不等式成立，求实数m的取值范围. 解析：(1) 解略. =，=；得=；(2) 解此绝对值不等式得+-把（1）代入上式，得-+-若把此不等式左右两边设为两个新函数，即令=-+，=+-则原不等式对于任意恒成立，意即成立，只需满足即可.=，=，注意到0，即10 , 0 , 故、均为增函数，在上，=，=，故原不等式成立，当且仅当，即.点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。
