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1、泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象授课题目 第十三讲曲线积分与路径无关问题课时数4教学目的通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件重点难点1重点两类曲线积分的计算方法；2难点格林公式及曲线积分与路径无关的条件。教学提纲 第十三讲曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型： (2)积分弧段的方向无关。(3)对弧长的曲线积分的计算2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型, 第二型曲线积分方向无关3. 格林公式及其应用用“补面法”用格林公是求解。4. 平面曲线积
2、分与路径无关的条件定理：以下条件等价(1) 在区域内曲线积分与路径无关的充分；(2) 内沿任一闭曲线的积分为零；(3) 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；为全微分教学过程与内容教学后记第十三讲曲线积分与路径无关问题一、第一型曲线积分1. 第一型曲线积分的模型设给定一条平面曲线弧：,其线密度为求弧的质量。, 【说明】若，则=，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。2. 第一型曲线积分的计算（代入法）设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为 ，,= 特别,当时, 表示曲线弧的弧长。当曲线弧的方程为 ，在上有连续的导数，则=； 例1：计算第一型曲线
3、积分（），其中从（，）到（，）一段。；（），其中圆周。二、第二型曲线积分1.第二型曲线积分的模型（代入法）设有一平面力场，其中为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点沿光滑曲线运动到点，求力场的力所作的功。， 【评注】设为有向曲线弧，为与方向相反的有向曲线弧，则 即第二型曲线积分方向无关2. 第二型曲线积分的计算设平面上的有向曲线的参数方程为 ，当参数单调地由变到时,= 这里的是曲线的起点所对应的参数值，是曲线的终点所对应的参数值，并不要求。若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则 =； 若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则=。 同样，以上并不要求，。公式可推广到空间曲线上对坐标的曲
4、线积分的情形，若空间曲线的参数方程为，则=这里下限为曲线的起点所对应的参数值，上限为曲线的终点所对应的参数值。例2：计算，其中 (1)为抛物线上从点到点的一段弧。(2)为从到点的直线段.【解法1】 (1)由知不是的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里，从变到，于是=。【解法2】 当把曲线分成与两部分时，在每一部分上都是的单值函数。在上，由变到；在上，由变到。于是 =+=+=(2) 直线的方程为,从到,于是=从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.3. 格林公式及其应用格林公式: 设平面单连通区域D由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续
5、偏导数，则 其中是的正向边界曲线。在公式(1)中取，可得，上式左端为闭区域的面积的两倍，因此计算有界闭区域的面积的公式为:。 例3： 计算星形线所围图形的面积.【解】 由公式(2)得=.例4: 在过点(0,0)和(,0)的曲线族中，求一条曲线，使沿该曲 线从到的线积分的值最小。【解】 本题可用代入法直接求解，这里采用“补面法”用格林公是求解。令，即AO直线段。-。用一元函数极值的方法得时达到最小值。4. 平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关问题：设是平面上的一个开区域，以及在内具有一阶阶连续偏导数.如果对内任意两点与，以及内从点到点的任意两条曲线、，恒有=，则称曲线积分在内与路径无关
6、。定理：以下条件等价（）在区域内曲线积分与路径无关；（）内沿任一闭曲线的积分为零；（）设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；（）为全微分例5： 计算,其中是从点经圆周上半部到点的弧段。【解】 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.这里,有=,且与在全平面上有一阶连续偏导数.因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段作为积分路径.于是=5.奇点的处理方法定理：设在坐标平面上除了点外都有，则对任意分段光滑闭曲线，是一个定值。例6: 计算,其中为:（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点;（2）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域含原点;【解】
7、 这里,且与在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.（1） 这个曲线积分与路径无关,所以.（2）设在坐标平面上除了原点点外都有，则对任意分段光滑闭曲线，是一个定值，把换成圆周，它的参数方程为,则 .例：设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可. Y【解】 （I） l2 C o X l3
8、如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 比较、两式的右端，得由得，将代入得所以，从而【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形. 二元函数的全微分求法定义：若函数使,则称函数是表达式的一个原函数。判别法： 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数,则在内存在原函数的充分必要条件是等式在内恒成立。求法：一般取.例：验证在整个在平面内是存在原函数,并求出一个原函数。【解】 这里,且在整个在平面内恒成立,因此在整个在平面内存在原函数.=.对于常微分方程,由上面可知这个微分方程的通解为 (为任意常数).1
