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1、1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t，而通过下一等距离s的时间为.试证明枪弹的减速度（假定是常数）为由题可知示意图如题1.1.1图: 设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为.则有: 由以上两式得 再由此式得 1.26一弹性绳上端固定，下端悬有及两质点。设为绳的固有长度，为加后的伸长，为加后的伸长。今将任其脱离而下坠，试证质点在任一瞬时离上端的距离为解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.题1.26.1图设绳的弹性系数为,则有 当 脱离下坠前，与系统平衡.当脱离下坠前，在拉力作用下上升，之后作简运.运动微分方程为 联立 得 齐次方程通解
2、 非齐次方程的特解 所以的通解 代入初始条件：时，得；故有 即为在任一时刻离上端的距离.1.39 一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。 证 质点受一与距离次方成反比的力的作用。 设此力为 又因为 即 当质点从无穷远处到达时，对式两边分别积分： 当质点从静止出发到达时，对式两边分别积分：得 所以质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。1.43如质点受有心力作用而作双纽线.证 由毕耐公式 质点所受有心力做双纽线运动 故 故 1.44点所受的有心力如果为式中及都是常数，并且，则其轨道方程可写成 试证明之。式中（
3、为积分常数）证 由毕耐公式 将力带入此式 因为 所以 即令 上式化为 这是一个二阶常系数废气次方程。解之得 微积分常数，取，故 有令 所以3.10解 如题3.10.1图。一均质圆盘，半径为，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为。已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？解：轴过点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为。设盘沿顺时针转动，则沿的方向有 即 为转盘绕轴的转动惯量：（为盘的质量）， （为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）= 由得 又因为 故 所以 得3.11通风机的转动部分以初角速绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为。如转动部分对其轴的转动
4、惯量为，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一半？又在此时间内共转了多少转？解： 如题3.11.1图所示，设轴通过点垂直纸面指向外。则对轴有：设通风机转动的角速度大小为，由于通风机顺时针转动。所以，将代入上式得： 。又由于，解得： 故当时，。又由于 （为通风机转动的角度） 设， 故当时，时间内通风机转动的转数 3.12解 如题3.12.1图，矩形均质薄片，边长为与，重为，绕竖直轴以初角速转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？解：坐标与薄片固连，则沿轴方向有： 且现取如图阴影
5、部分的小区域，该区域受到的阻力对轴的力矩 所以 又薄片对轴的转动惯量 由得： 当时，3.15解 如题3.15.1图所示坐标系。一轮的半径为，以匀速无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？解：由于球作无滑滚动，球与地面的接触的速度与地面一致，等于零，所以点为转动瞬心。以为基点。设球的角速度，则 设轮缘上任意一点，与轴交角为，则故当时，得最高点的速度当和时分别得到最高点和最低点的加速度 3.19长为2的均质棒，以铰链悬挂于点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，
6、棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降距离后，棒一共转了几转？ 解 ：固定坐标系。杆从水平位置摆到竖直位置过程中只有重力做功，故机械能守恒。设此时的角速度为，则右边第一项为质心运动动能，第二项为杆绕质心转动的动能。解上式得在杆脱离悬点后，根据动量定理和动量矩定理：式中为杆绕质心的转动惯量，为沿过质心平行于轴的合力矩，易知，又，代入式得 即杆将作匀速转动。解得 所以质心的轨迹为一抛物线。故当时，杆的质心下降，代入式得 故时间内杆的转数 3.20质量为半径为的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子
7、是水平的。求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳中张力。 解：设圆柱体的转动角速度为，设它受到地面的摩擦力为，由动量定理和动量矩定理知： 对于滑块。由动量定理知： 以为基点： 假设绳不可拉伸。则。故 由解得：3.22一飞轮有一半径为的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为。在杆轴上绕有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为的重物。如飞轮受到阻尼力矩的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过角后，绳子与杆轴脱离，并再转过角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。解： 轴与速度方向一致，轴垂直纸面向外。设球的半径为，则球绕任一直径的转动惯量。由动量定理和动量矩定理可知： 由得：设球与板的接触点为
8、，则时刻点的速度为 球由滑动变为滚动的条件是： 由解得： 3.23重为的木板受水平力的作用，在一不光滑的平面上运动，板与平面间的摩擦系数为。在板上放一重为的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度。 解：设圆柱的半径为，与木板之间的摩擦力为，弹力为，木板受地面的摩擦力为，弹力为，对木板由动量定理得： 对圆柱，由角动量定理和动量定理得： 其中为圆柱绕中心轴的转动惯量，所以 无滑滚动的条件： 由式解得5.13.1 半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为，试证棒的全长为 . 解 杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆
9、与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：即 mgy =0变换方程y=2rcossin-= rsin2故 代回式即因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2-=0 又由于 cos= 故 cos2= 代回式得 5.2解 相同的两个均质光滑球悬在结于定点的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求角及角之间的关系。解：三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为1，故。得由虚功原理 故因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须故 又由 得： 由可得4.10 质量为的小环，套在半径为的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。解：平面运动，一个自由度.选广义坐标为，广义速度因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程 在 广义力 代入得： 在极坐标系下：故 将以上各式代入式得
