《第二章第十三节曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章第十三节曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章曲面论 第十三节曲面上法曲率的最大值、最小值、 高斯曲率、平均曲率、极小曲面 根据法曲率的几何意义，法曲 率完全反映了曲面在一点处沿指定 方向的弯曲程度和弯曲方向，因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的 弯曲性是完全可以量化.但实际上 是做不到的，因为曲面在一点处有 无穷多个切方向.于是我们自然提 出这样两个问题：法曲率随方向变 化的变化规律是什么？法曲率是否 有最大值和最小值？下面针对这两 个问题展开讨论.得到的结论是：由 Euler公式给处了曲面上一点沿各个方向， 法曲率的变化规律，而且法曲率有最大值 和最小值，它们被称为主曲率，最后由主 曲率进一步引出Gaus s曲率和平均曲率的概
2、 念.一、法曲率的最大值、最小值寸 v V/、曲面r = r(u,v)上一点P沿一方向(d) = du : dv上的法曲率k n为k=IIn TL (du )2 + 2 Mdudv + N (dv )2E (du )2 + 2 Fdudv + G (dv )2 (1)我们考虑法曲率的最大值、 最小值问题。设x = *，则有7L 人 2 + 2 M 人 + Nk =nE人2 + 2FX + G，这样一来，所求问题转化为求二次 分式的极值问题。L人 2 + 2M 人 + N - k (EX 2 + 2 F 人 + G) = 0，(L - k E)X2 + 2(M - k F)X + N - k G
3、 = 0， 此二次方程有根/当且仅当n(M k F)2 (L k E)(N k G) 0，(EG F2)k 2 + (LG 2MF + NE)k (LN M 2) 0设七k 2 (k k 2)是方程，(2)(EG F2)k 2 + (LG 2MF + NE)k - (LN M2) = 0 则有匕 k k2，于是kn的最大值、最小值分别为k2,k1 ，且由方程(2)所解出。由韦达定理，便得7 7LN M 2k k =1 2 EG F 2，77 LG 2 MF + NEki + k 2 =EG F 2。将七k 2代入7 L 人 2 + 2 M 人 + N k =n EX 2 + 2F 人 + G，
4、解出两个根气,X1，就得到使k达到 最大值、最小值的方向。v V/、对曲面r =r (u, V)上一给定点P(u, V),法曲率k n是切方向(d) = du : dv的函数，称法曲率的每个 临界值(critical value)为曲面在 这一点的主曲率；对应的方向称为 曲面在这一点的主方向.二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率设k 2,匕分别为曲面上一点处的 法曲率的最大值、最小值，则将它 们的乘积匕k 2称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以k表示，K = kk 2它描述了曲面在一点处总 的弯曲程度，又称为总曲率或全曲 率；1它们的平均数2(kk2)称为曲 表示，H = 2( k
5、i +k2)，它描述了曲面在 一点处的平均弯曲程度，又称为中 曲率。面在这一点的平均曲率，H由方程(2)及韦达定理，便得K = kk= LN - M 21 2 eg F 2，1”7、 LG 2MF + NEH = 2( ki + k 2) =2(EG F 2)k 2 2 Hk + K = 0。三、计算高斯(Gauss)曲率、平均曲率的例题设是半径为R的球面,71 771由于 k广 R，k 2=k= R , 所以球面的高斯曲率K = R ,H -1平均曲率H-R 。rr = (u cos v, u sin v, bv)【例1】 求正螺面的主曲率，总曲率和全曲率.【解】直接计算得到螺面的第一和第二
6、基本形式如下I = (du)2 + (u2 + b2)(dv)2 ,2b11 =dudv由此便知正螺面上所有点都非脐点，于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率.将基本量代入法曲率的计算公式，得到7 II2 Mdudvk 由于n T E(du)2 + G(dv)2，I 2Mdudv ll M I E(du)2 + G(dv)2,(EGEG所以，有 _ I m I k I M H=1=，于是正螺面的主曲率幻,k2,总曲率和平均曲率H分别为k 2 评E，ki=_(U2 + b2),(U 2 + b 2)2 ,I b I . I b IM 2EGK kk1 21 ，、八八 r r【例2】设C: r r
7、 (s)是H - (k + k ) 0条空间正则曲线，s是自然参r r r数，其切线构成的曲面为S : r (s，t) = r (s) + M (s),其中】(s)是C的单位切向量.求S的Gauss曲率.k , T【解】记曲线C的曲率和挠率分别为，r J r基本向量为以，。r r r r J则 r =a(s), r =a(s) + tk，于是r rE = r - r = 1, F =八 r r 7G = r - r = 1 +12 k 2进一步计算得到rrr1r =0,r =ktttsrrr rr = 一扶2(x(s) + (k +扶(s)P + Wy ,r r x r rn it 书=y I
8、I r x r II 9 t s所以 r rL = n r = 0tt，r rM -n-r - 0st，r rN = n- r = thSS因此曲面S的Gauss曲率为LN-MiK=0EG-Fi 例1、求曲面 z = f(x，y)，3，y)。 的高斯曲率、平均曲率。解我们已经得出第一类基本量为r rE -r - r = 1 + (/ )2 , X XXF = r -r - f fx y x y 5r rG-r -r =1 + (/ )2 ;第一基本形式为I - (1+(f)2)(dx)2 + 2ff dxdy + (1+ (f)2)(dy)2 ； 第二类基术量为yr rL - n - rxxr
9、 r N = n - ryyfxx.f+ (f )2 +(f),fyyJT+ ( f )2+( f),第二基本形式为 1: z - c (1 -三-三)匕上的高斯曲率；求下半椭球面 2： z=c (i- p；上II = .，xx= (dx)； + 2以 =dxdy + ， yy= (dy )2v1 + (f )2 + (f )2.1 + (f )2 + (f )2、.1 + (f )2 + (f )2代入计算，可得 x yK - T 七 土1+( fx )2 +(fy)22 ,H - (1+ f 2)fx2 ffyfxy +(1+ T f,2(? + f2 + 容易验证H = 2气矗 求上半椭
10、球面的高斯曲率。例2、求旋转曲面r:r = (x(t)cos 0, x(t)sin 0, z(t)。(这里00 2兀,x(t)0, a t b)的高斯曲率、平均曲率。r解 r = (x(t)cos 0, x(t)sin 0, z(t),rr = (一x(t)sin 0, x(t)cos 0,0),r0r = (x (t) cos 0, x (t)sin 0, z (t), t,r ,E =II r II2 = x2(t),0rrF = r - r = 0 ,rG =II r II2 = (x(t)2 + (z(t)2,t1 = E(d )2 + G(dt)2 ,r r,-)2+(丁(t)2,z
11、 f(t )cos 0, z f(t )sin 0, - x(t)II r0 x r 11= J EG - F 2=x(t)L J(x(t)2 +(zZ(t)2r = (一x(t)cos 0, 一x(t)sin 0,0), 杪r = (一x(t)sin 0, x (t)cos 0,0), 01r T r r x r n = r r 一,=rr = (x (t)cos 0, x (t)sin 0, z (t),L = . r =_x (t) z (t)0 _ /x(t)2+(z (t)2，r r 八M - n - r = 0n - n.r -x (? z (t)一x (t * 弋) ttJ( x
12、 (t )2 +( z (t )2II- L(d0 )2 + N(dt)2。II _ L(d0 )2 + N(dt)2 厂 E(d0 )2 + G(dt)2_ LE(d0 )2NG(dt)2EE(d0)2 + G(dt)2 G E(d0)2 + G(dt)2，.L Nj v L Nx 则有 min(E G -、- max e G。,(L N、 ， l N、匕=minEG，k2-maxE G。K iLNK k k ,将基本量代入 1 2EG，n 1LG + NEH-2(ki + k2)=，可算出xf(t) z ft) xff (t) z (t )z (t)K =x (t )(x x (t )2
13、+( z z (t )22,z (t)( x (t )2 + (z(t )2 + x(t) x(t) z (t) x (t) z(t) H =Z2 x(t)(x It )2 + (z It )2成0(2)若的全曲率处处为零，试判断曲面的形状？(3)证明：若的经线有垂直于旋转轴的切线，则切点是曲面Z上的抛物点.(2)由(1)知，全曲率处处为零的充要条件是x(t) z (t) x (t) z(t )z(t) = 0,若z(t) = 0 ,则fz(t) = C(常数)，因而曲面是垂直于z-轴的平面.(ii)若 x(t)z(t) 一 x(t)z(t) = 0 ,那么x(t) = Cz (t), x(t) = Cz(t) + ,当常数C。0时，曲面为圆锥面；当常数C = 0时，曲面为圆柱面.(3)若经线的切线垂直于旋转轴(即z -轴)，则z(t) = 0从而K = 0,所以切点为抛物点.特别地，将x。，平面上曲线 x = x(z)，绕z轴旋转一周，则所得 旋转曲面为rr = (x(z)cos 0, x(z)sin 0, z),u r u /、E =11 r II2 = x2(z),0r rF = r - r = 0 ,r zG =11 r 112= 1 + (x(z)2, 1 =启(z)(d)2+1 + (X(z)2(dz)2 ,u r rII r x r 11=X(z)
