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1、新华学校七年级数学寒假专题辅导（第一讲）相交线与平行线（一）【核心知识】 （一）知识要点：1.垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。注意：垂线的定义有以下两层含义：（1）ABCD（已知） （2）190（已知） 190（垂线的定义） ABCD（垂线的定义）2.垂线的性质（1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。3.点到直线的距离直线外一点到
2、这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 4.同位角、内错角、同旁内角 如图（1），两条直线AB、CD被直线EF截于M、N两点。图（1） （1）同位角：在两条被截线相同的一侧并且都在第三条直线（截线）的同旁的两个角叫同位角。 （2）内错角：在两条被截线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁的两个角叫内错角。 （3）同旁内角：在两条被截线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁的两个角叫同旁内角。5.平行线的判定 （1）判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简记为：同位角相等，两直线平行。 （2）判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直
3、线平行。 简记为：内错角相等，两直线平行。 （3）判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简记为：同旁内角互补，两直线平行。 6.平行线的性质： （1）性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简记为：两直线平行，同位角相等 （2）性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简记为：两直线平行，内错角相等 （3）性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简记为：两直线平行，同旁内角互补7.判定两条直线平行的方法： （1）平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行。 （2）平行线的判定定理1：内错角相等，两直线平行。 （3）平
4、行线的判定定理2：同旁内角互补，两直线平行。 （4）平行线的定义：同一平面内，如果两条直线没有交点，则两直线平行。 （5）平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行。 （6）垂直于同一直线的两条直线平行。 8.平行线的性质和判定是互逆的。 【典型例题】 例1.填空题： （1）如图（8），已知AD/BC，求证：AD平分，谈谈你的理由。 图（8） 证明：（ ） （ ） （ ） 又（ ） （ ） 平分（ ） 已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；角平分线定义。 （2）如图（9），已知，且，求证：，为什么？图（9） 证明：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
5、 即（ ） 已知；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；两直线平行，同位角相等；等量减等量，差相等。 例2.已知：如图（10）是的角平分线，那么DC与AB平行吗？写出推理过程。图（10） 例3.已知：如图（11）已知，求证：。图（11） 新华学校七年级数学寒假专题辅导（第二讲）相交线与平行线（二）【模拟试题】 1.选择题： （1）下列命题中，正确的是（ ） A.有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角 B.有公共点，且又相等的角是对顶角 C.两条直线相交所成的角是对顶角 D.角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 （2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角（
6、 ） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.以上结论都不对 （3）已知下列命题 内错角相等 相等的角是对顶角 互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角 同旁内角互补 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （4）因为，所以，这个推理的根据是（ ） A.平行线的定义 B.平行于同一直线的两条直线平行 C.等量代换 D.同位角相等，两直线平行 （5）如图，如果，那么（ ） A. B. C. D. 2.填空（1）如图 （已知） _（ ） _（两直线平行，内错角相等） _（ ） （已知） _（ ） （已知） _（ ） 3.填空（2），已知：如图平分平分。 求证： 证明：
7、BE平分（已知） _（ ） 同理_（ ） _（ ） 即_ 又（已知） _（ ） 4.填空（3），如图，已知：，AC平分，求证：。 证明：平分（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 5.已知：如图。求证： 6.已知：如图，已知BE平分，CF平分， 求证：。 7.已知：如图， 求证：。 8.如图所示，已知DE/BC，求证：。【励志故事】欧阳修晚年，每天都把自己生平所写的文字，加以修改，用心极苦。他的夫人叫他不要修改了，说：何必这样折磨自己？难道还怕老师责骂？欧阳修笑道：不怕先生骂，却怕后人笑。新华学校七年级数学寒假专题辅导（第三讲）三角形（一）【核心知识】 （一）三角形的有关概念1、三角形及三角形
8、的边、顶点、内角、外角。由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。“三角形”用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”。2、三角形的分类（1）三角形按角分类（2）三角形按边分类几种特殊三角形的有关概念：不等边三角形：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰
9、和底边的夹角叫底角。等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。3、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。注意：三角形的角平分线、中线和高都是线段。要区别角的平分线和三角形的角平分线。一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高。三条角平分线，三条中线都在三角形的内部，而三条高的位置与三角形的形状
10、有关：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边就是它的两条高，另一条高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部。三角形的三条角平分线，三条中线，三条高（或其延长线）都相交于一点。利用这个特性，可检验所画的三条角平分线，三条中线，三条高是不是准确。 （二）三角形三边关系的定理及推论定理：三角形两边之和大于第三边。推论：三角形两边之差小于第三边。注意：这里说的两边指的是 “任意”两边。 （三）三角形角之间的关系1、三角形三个内角的和等于。（证明要用以前学过的涉及的知识去证，可从三个方向考虑：平角；邻补角；两直线平行同旁内角互补）2、三角形的外角三角形的一
11、边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。在三角形的每一个顶点处，有两个外角，这两个角是相等的角，任取其中的一个，那么在三个顶点处得到三个外角，这三个外角的和叫做三角形的外角和。三角形外角和等于。3、三角形内角和定理的推论（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （四）多边形及其内角和1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2、多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。3、连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。4、多边形的内角和：边形内角和等于。5、多边形的外角和等于。 【典型例题】例1. 如图，已知，（ ）（A） （B） （C） （D） 例2.如图，在ABC的边BC上取两点D、E，使BD=CE，请你运用三角形三边的关系和平移的知识，观察AB+AC与AD+AE之间的长度关系，提出一个设想，并加以证明. 例3.如图（1）所示，中，的平分线交于点，求证：. （1）
