避免分类讨论的参变分离和变换主元专题复习

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1、避免分类讨论的参变分离和变换主元专题复习避免分类讨论的参变分离和变换主元专题复习 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（20XX-20XX石景山期末文20）已知函数， ，.（）若在处取得极小值,求的值； （）若在区间为增函数,求的取值范围；

2、 （）在（）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围 【答案】（）由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + 极大值 极小值 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（20XX-20XX丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

3、【答案】（1）由已知得，切点坐标为， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，有只有一个零点 ， 1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极

4、大值 减 易知 ，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（20XX-20XX朝阳期末理18）已知函数,其中 （）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （）当时，（）证明：； （）试判断方程是否有实数解，并说明理由 【答案】函数定义域， （）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （）当时，, （）令，得 令,得，所以函数在单调递增 令,得，所以函数在单调递减 所以， 所以成立 （）由（）知， ， 所以 设所以 令，得 令,得，所以函数在单调递增， 令,

5、得，所以函数在单调递减； 所以， 即 所以 ，即 所以，方程没有实数解 【练1-1】（20XX-20XX东城一模理18）设函数， （）当时，求的单调区间； （）当时，恒成立，求的取值范围； （）求证：当时， 【答案】（）当时，则， 则. 令得 + 所以 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时， （）因为， 所以恒成立，等价于恒成立 设， 得， 当时， 所以在上单调递减， 所以时， 因为恒成立， 所以 （）当时，等价于 设， 求导，得 由（）可知，时， 恒成立 所以时，有 所以 所以在上单调递增，当时， 因此当时， 【练1-2】（20XX-20XX朝阳二模理18）已知函数，. （）若曲

6、线在点处的切线与直线垂直，求的值； （）求函数的单调区间； （）设，当时，都有成立，求实数的取值范围 【答案】（）由已知得 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以所以 所以 3分 （）函数的定义域是， （1）当时，成立，所以的单调增区间为（2）当时， 令，得，所以的单调增区间是； 令，得，所以的单调减区间是 综上所述，当时，的单调增区间为； 当时，的单调增区间是， 的单调减区间是 8分 （）当时，成立， “当时，恒成立” 等价于“当时，恒成立” 设，只要“当时，成立” 令得，且，又因为，所以函数在上为减函数； 令得，又因为，所以函数在上为增函数 所以函数在处取得最小值，且 所以 又因为， 所以

7、实数的取值范围 13分 （）另解： （1）当时，由（）可知， 在上单调递增，所以 所以当时，有成立 （2）当时， 可得 由（）可知当时，的单调增区间是， 所以在上单调递增，又，所以总有成立（3）当时，可得 由（）可知，函数在上为减函数，在为增函数， 所以函数在处取最小值， 且 当时，要使成立，只需， 解得所以 综上所述，实数的取值范围 【练1-3】（20XX-20XX海淀一模理18）已知曲线. ()若曲线C在点处的切线为，求实数和的值； ()对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【答案】， -2分 因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：， 所以且. -4分 解得， -5分 （）

8、法1： 对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 x,，都有， 即x,R，恒成立， -6分 令， -7分 若a=0，则， 所以实数b的取值范围是； -8分 若,， 由得， -9分 的情况如下： 0 0 + 极小值 -11分 所以的最小值为， -12分 所以实数b的取值范围是； 综上，实数b的取值范围是 -13分 法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 x,，都有，即 x,R，恒成立， -6分 令，则等价于，恒成立， 令，则 ， -7分 由得， -9分 的情况如下： 0 0 + 极小值 -11分 所以 的最小值为， -12分 实数b的取值范围是 -13分 【练1-4】若不等式

9、对恒成立，求实数的取值范围 【答案】分析p ：若设，由知，对应分三种情况讨论若分离参数，则轻易解决 解：原不等式等价于当时，显然成立； 当时，因为，所以，则有恒成立，只需 因为, 当，即时取“=”，即，所以 评注：对二次函数在闭区间上的最值问题是最容易引起“讨论”的本题求解过程中求的最小值要注意验证取等号的条件 【练1-5】（20XX-20XX西城第一学期期末18）已知函数，其中 （）求的单调区间； （）设若，使，求的取值范围 【答案】分析p ：第二问，存在性问题，可以转化成函数在给定区间上的最值问题，但是类似这样的问题，咱们都有经验，分离变量会比较简单，但是在实际教学中，很多学生并不能很好的

10、接受这种想法。为什么？分离变量是一种思想方法，还是一种解题技巧？ 我们可以这样审视这类问题：给了一个变量的范围，求另一个变量的范围，事实上，就是两个变量的依赖关系，于是可以把所求变量表示成已知变量的函数，从函数出发看待这类问题，分离变量就自然了，于是该题就有了如下简洁的解法： （）解：因为， 所以 等价于 ，其中 9分 设，在区间上的最大值为11分 则“，使得 ”等价于 所以，的取值范围是 13分 小结：存在性问题、恒成立问题采用分离变量的方法常常比较容易，但是这种方法的教学不能当成一种技巧进行教学，应该揭示这种解法的本质，其本质就是变量的依赖关系即函数关系，分离变量，实际上是把两个变量之间的

11、隐函数关系，变成显函数关系，进而转化成不含参变量的函数，从而使得问题的解决避免分类讨论，变得简单。 【练1-6】（20XX-20XX朝阳期末18）已知函数 （）若，求曲线在点处的切线方程； （）求函数的单调区间； （）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围 【答案】（这里的第三问也是一个存在性问题，可做练习巩固）【练1-7】（20_天津理11）已知函数的图象与函数（且)的图象关于直线对称,记,若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】 考点二、主参换位（主辅元转换），避免分类讨论； 【例2-1】设不等式对满足的一切实数都成立，求的取值范围 【答案

12、】分析p ：受思维定势影响，易看成关于的不等式其实变换一个角度，以为变量可避免分类讨论，只要关于的函数在区间恒为负值即可 解：由题意，可设，即在内恒成立，因为为关于的一次函数，故有 评注：将关于的不等式转化为关于的一次不等式，虽然仍需要解关于的一元二次不等式组，但已经成功地避开了复杂的分类讨论，将问题中的参数“消灭”了这种转变问题视角的方法，对简化运算十分有益 【例2-2】（20XX-20XX通州期末19）已知函数 （）若函数在处有极值为10，求b的值； （）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值 【答案】分析p ：该题（）初步转化为 对任意，都成立 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，又给出，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。 【例2-3】设，当时，恒成立，求的取值范围。 【答案】分析p ：该题初步转化为对任意恒成立，求的取值范围 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是