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1、毕业论文 论文题目：定积分在物理学中的应用 专业班级：数学与应用数学 所在院系：文理学院 作者姓名：李杉杉 定积分在物理学中的应用摘 要:牛顿，莱布尼兹以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机，为定积分思想的进一步完善奠定了坚实的基础。它的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照，定积分理论的建立，使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰，对于培养人的思维方法、品质，提高分析问题、解决问题方面有极好的促进作用.本文首先写了有关定积分的计算方法
2、,从而给应用定积分解决实际问题打下基础,然后讨论了定积分在物理学中的基本应用.解决物理问题主要运用的方法是“微元法”.关键词:定积分 计算方法 物理问题 微元法 目 录1.引言12.定积分的计算方法12.1用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分12.2利用分部积分法计算定积分22.3利用换元积分法计算定积分22.4几种特殊类型定积分的计算方法32.4.1对称区间上的定积分的计算方法32.4.2 利用函数的周期性简化计算33. 定积分在物理中的应用43.1 变力沿直线所作的功43.2 物体的质量53.3 水压力64.结论75.参考文献71定积分在物理学中的应用1.引言恩格斯曾经指出，微积分是变量数学的最
3、重要的部分，微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具：如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展：如气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。2.定积分的计算方法定积分是求总量的数学模型,但如果根据定积分的概念分割、代替、求和、取极限的四步法求定积分,步骤虽然十分清楚,但能求出和式极限的问题却微乎其微.为了较好的解决每一个问题，我们需掌握定积分的简便计算方法.2.
4、1用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分若函数在上连续，且存在原函数，即，xa,b,则在上可积，且 这称为牛顿莱布尼茨公式，它也常写成 有了牛顿莱布尼茨公式后，计算定积分关键就是找的一个原函数。这就转化为不定积分的问题了。例1 求解：已知2.2利用分部积分法计算定积分设函数、在区间a，b上连续可微函数，则有定积分分部积分公式例2 求 解: 2.3利用换元积分法计算定积分若函数在上连续，在上连续可微，且满足，则有定积分的换元积分公式 。应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。例3 计算解：先用变量代换方法：令，则，。于是再用分部积分法计算上式右端的积分。设，则，于是从而原式2.4
5、几种特殊类型定积分的计算方法2.4.1对称区间上的定积分的计算方法对于对称区间关于原点对称的定积分，用奇偶函数积分的“特性”作处理。 1)若在上连续并且为偶函数，则有 （是偶函数） 2)若在上连续并且为奇函数，则有（是奇函数）例4 计算解：原式右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而原式例5 计算解：原式2.4.2 利用函数的周期性简化计算设是以T为周期的连续函数，则有（n为整数）例6 计算解：因为被积分函数以为周期，所以原式 3. 定积分在物理中的应用3.1 变力沿直线所作的功 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力作用在这物
6、体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离时，力对物体所作的功为. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想. 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 . 在 上任取子空间,在其上所作的功元素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为例1在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为说明: 例2用铁锤把钉子钉
7、入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？解: 设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为设 n 次击入的总深度为h厘米n次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等n次击入的总深度为第n 次击入的深度为3.2 物体的质量 每个物体都有一定的质量, 对于密度均匀的物体的质量或、，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用“微元法”从而利用定积分来解决此类问题.例2 设有一心脏线形的物质薄片，其面密度，试求此物质薄片的质量 解: 3.3 水压
8、力由物理学知道，在水深为处的压强为，其中是液体的密度，. 设有一面积为的平板，水平地放置在液体中深为处，则平板一侧所受的压力为. 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，需要定积分来求解.例3 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐，试计算闸门一侧所承受的水压力解: 我们知道抽水做功微元为把处一层水抽出所做的功；类似地，侧压力微元为处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水压力，即 则4.结论应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。“微
9、元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。微元法的主要步骤:设有一个函数 , 所求量可以表示为: ，然后实际进行以下三步:第一步取 , 并确定它的变化区间;第二步设想把分成许多个小区间, 取其中任一个小区间, 相应于这个小区间的部分量 能近似地表示为与的乘积),就把称为量的微元并记作, 即第三步在区间上积分, 得到致谢转眼流年似水，四年的大学生活的时光就即将结束了，如今我们也将要完成学业，奔赴社会，成为社会中人，开始人生另一个崭新的生活.在论文即将完成之际，我的
10、内心无比激动，为的是感激.这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我一人之功劳，从开始选题到论文的顺利完成，是我的老师，同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果.在这里请接受我最诚挚的谢意! 首先，要感谢我的指导老师黄振华老师，一位平易近人的良师，本论文从选题、撰写到定稿自始至终都得到黄老师的悉心指点和帮助.黄老师的亲切耐心的指导、诲人不倦的敬业精神、细致认真的态度和谦逊的人格品质，在思想上获得了许多启示，这使我受益终生.在此，衷心感谢您在百忙之中对我毕业论文从选题到写作再到最后定稿所付出的辛劳！黄老师，谢谢您！您辛苦了！其次，我要感谢系里的所有老师，感谢你们四年来的辛苦教学，是你们
11、让我学会了很多知识，是你们教会了我怎样努力去奋斗.同时，你们严谨治学的态度、风格迥异的教学方法拓宽了我的视野，你们的负责任的态度，使我收益很多.老师你们辛苦了.再次，我要感谢四年来生活在同一屋檐下的可爱宿友们，感谢我们一起经历的点点滴滴，感谢身边所有的朋友与同学们，在我的论文结构方面给我很大的帮助，谢谢你们四年来对我的关照与宽容，与你们一起走过的五彩缤纷时光，这四年来的大学生活必会是我一生中最珍贵、最美好、最温暖的回忆.你们的支持和帮助给我带来很大的动力.谢谢你们！此外，我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，我的家人，感谢你们一直以来对我学业的支持，以及对我各方面的培养.没有你们，就没有我的今天，你们的支持与鼓励，永远是支撑我前进的最大动力. 最后，再次感谢所有给予我关心和帮助的人.5.参考文献1. 华东师大数学系 数学分析 高等教育出版社 2001.62. F.M.菲赫金哥尔茨 微积分学教程 高等教育出版社 2006.13. 李公国（翻译） 微积分及其应用 徐氏基金会出版社 1995.64. 程守洙 江之永 普通物理学 高等教育出版社 1990.3
