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1、三角函数的图象与性质一、三角函数图像与性质1、周期函数（1）周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。（2）最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。注：如果函数y=f(x)的周期是T，则函数y=f(x)周期是，而不是。2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxY=tanx图象定义域xRxRxR且值域y|-1y1y|-1y1R单调性最值无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中
2、心（k,0）,kZ（k+,0）,kZ（,0）,kZ对称轴x= k+,kZx= k,kZ无周期22注：y=sinx与y=cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点。3函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。例1（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了答案：D 4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象
3、变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。例2试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象解析：y=sin（2x+）例3(2009山
4、东卷理)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.解析 将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.5由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 例4（2009辽宁理，8）已知函数=Acos()的图象如图所示，则=（ ）A. B. C.- D. 答案 C图例5（1）（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，则=( )A. B. C. D.
5、 6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。1.函数的图象的一条对称轴为（ ） A、 B、 C、 D、2.函数的图象关于（ ） A、原点对称 B、轴对称 C、直线对称 D、直线对称7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法 9五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对
6、应的y值，再描点作图。 二、三角函数的图象与性质应用1、与三角函数有关的函数的定义域相关链接（1）与三角函数有关的函数的定义域与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围；求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。（2）用三角函数线解sinxa(cosxa)的方法找出使sinx=a(cosx=a)的两个x值的终边所丰位置；根据变化趋势，确定不等式的解集。（3）用三角函数的图象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法作直线y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内（不一定是0，2）在直线y=a上方的图象；确定sinx=a(cosx=a，ta
7、nx=a)的x值，写出解集。注：关于正切函数的不等式tanxa（tanxcosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使成立的x的值，可用图象或三角函数线解决。解答：（1）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0方法一：利用图象。在同一坐标系中画出0，2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：在0，2内，满足sinx=cosx的x 为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为方法二、利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则。定义域为方法三：sinx-cosx=sin(x-)0,将x-视为一个整体，由正弦函数y
8、=sinx的图象和性质可知2k x-+2k,解得2k+x+2k,kZ.定义域为（2） 要使函数有意义，必须有，即，解得，故所求函数的定义域为例9已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域解析：由cos2x0得2xk+，解得x，kZ，所以f（x）的定义域为x|xR且x，kZ，因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x）。所以f（x）是偶函数。又当x（kZ）时，f（x）=。所以f（x）的值域为y|1y或0,0)的函数的单调区间，基本思路是把x+看作一个整体，由求得函数的增区间，由求得函数的减区间。（3）形如y=Asin(-x+)(A0,0)的函数，可先利用诱导公式
9、把x的系数变为正数，得到y=-Asin(x-)，由得到函数的减区间，由得到函数的增区间。注：对于函数y=Acos(x+),y=Atan(x+)产单调区间的求法与y=Asin(x+)的单调区间的求法相同。例（1）求函数的单调递减区间；（2）求的周期及单调区间。思路解析：题目所给解析式中x的系数都为负，把x的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。解答：（1）由得，由得又x-,-x,.函数 x-,的单调递减区间为-，。（2）函数的周期T=。由得由得，函数的单调递减区间为。3、三角函数的值域与最值例1已知函数的定义域为，函数的最大值为1，最小值为-5，求a和b的值。思路解析：求出的范围a0时，利用最值
10、求a、b a0，则，解得；若a0,则，解得。综上可知，或，注：解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的最值，再由方程的思想解决问题。例2求函数的值域思路解析：（1）因xR时，cos-1,1,可利用分离参数法求解；（2）利用cosx的有界性，把cosx用y表示出来解。解答：方法一：函数的定义域为R，y=1+,-1cosx1,当cosx=-1时，2-cosx有最大值3，此时;当cosx=1时，2-cosx有最小值1，此时,函数的值域为，2。方法二：由解出cosx得。-1cosx1,即，也即两边同时平方得，即（y-2）(3y-4)0,函
11、数的值域为，2注：求三角函数的值域主要有三条途径：（1）将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinx=f(y),再由|sinx|1得到一个关于y 的不等式|f(y)|1，从而求得y的取值范围；（2）将y用sinx或cosx来表示，或配方或换元或利用函数的单调性或基本不等式来确定y的取值范围；（3）利用数形结合或不等式法求解。在解答过程中，注意化归思想的应用以及应用过程中的等价转化。例:已知函数f(x)=sin(x+)-cos(x+)(00)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为。（1）求f()的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横
12、坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间。思路解析：（1）化简f(x)由奇偶性和周期性求和求f()；（2）变换f(x)的图象得到g(x)的解析式求g(x)的单调减区间。解答：（1）f(x)= sin(x+)-cos(x+)=2sin(x+)- cos(x+)=2sin(x+-).因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此，sin(-x+-)=sin(x+-),即-sinxcos(-)+cosxsin(-)=sinxcos(-)+cosxsin(-),整理得sinxcos(-)=0,因为0.且xR,所以cos(-)=0,又因为0，故-=，所以f(x)=2sin(x+)-2cosx.由题意得，所以=2，故f(x)=2cos2x,因此f()=2cos=.（2）将f(x
