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1、行列式的计算方法摘要：行列式是一种常用的数学工具，是线性代数理论中极其重要的组成局部，是高等数学的一个根本的概念。行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中，在数学及其他学科中都有广泛的应用。行列式也为解决实际问题带来了许多方便。本文针对行列式的计算方法这一问题进行了深入研究，在利用行列式的定义及根本性质计算行列式的根底上提出了一些更加简便的方法，如三角形法、利用范德蒙行列式、利用数学归纳法、利用递推公式、降阶法、升阶法、拆开法、利用方阵特征值与行列式的关系、析因法，并结合相应的例题进行更深入的分析。关键词：行列式；三角形法；范德蒙行列式；数学归纳法；递推公式；降阶法；升阶法
2、；拆开法；析因法The calculation method of determinantAbstract: Determinant is a kind of common mathematical tool, is linear algebra theory extremely important part of higher mathematics is one of the basic concepts. Determinant produced in solution system of linear equations, and is also the earliest applie
3、d to solution system of linear equations, in mathematics and other subjects have a wide range of application. Determinant for solving actual problems bring a lot of convenience. In this paper the calculation method of determinant this problem is studied, the use of determinant definition and basic p
4、roperties of determinant calculation are put forward on the basis of some more simple methods, such as triangle method, using vandermonde determinant, using mathematical induction, using recursion formula, reduced order method, ascending order method, apart method, using square matrix eigenvalues an
5、d the relationship between the determinant, factorial method， and combined with the corresponding examples further analysis.Key words: Determinant; Triangular method; Vandermonde determinant; Mathematical induction, Recursion formula; The order reduction method; Rise of order; Apart method; Factoria
6、l method1 引言行列式是线性代数中重要的一局部，有着极其重要的地位。行列式问题在诸多数学问题中都有所涉及，而行列式的计算往往是解决问题的关键。它的应用范围极其广泛，可作为很多学科解决问题的重要工具。国际上一些知名的数学家如:拉普拉斯(laplace),范得蒙(vandermonde)等都对行列式有着深入的研究,并为行列式的计算奠定了理论根底。行列式的解题方法灵活多样，技巧性强，本文就行列式的计算方法进行归纳总结以及举例分析说明。2研究问题及成果 2.1利用行列式的定义直接计算二阶行列式的定义例1：D=2468=28-46=-8三阶行列式的定义例2：014121110=020+114+1
7、11-124-110-110=-3阶行列式的定义也就是说阶行列式等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积的代数和。这里是1,2的一个排列，当是偶排列时，式取正号，当是奇排列时式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用，即阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。对于一个级行列式,按定义展开后共有！项,计算它就需要做！-1个乘法,当较大时,！是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的,因此,定义法一般适用于阶数较低的行列式。例3：计算行列式解：这是一个四阶行列式,展开式应有4！=24项,但由于出现很多零元素,所以不为零的项只有这一项,而,故。2.2利用行
8、列式的性质计算性质1.行列互换，行列式的值不变，即DT=D性质2.交换行列式中两行对应元素的位置，行列式变号。推论：假设一个行列式中有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为零。性质3.把行列式中某一行的所有元素同乘以数k，等于用数k乘以这个行列式。推论1.行列式某一行有公因子时，可以把这个公因子提到行列式的符号外面。推论2.如果行列式某两行的对应元素成比例，那么这个行列式为零。性质4.如果行列式第i行的各元素都是两元素的和，那么这个行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个元素作为第i行对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同i=1,2，n。性质5.行列式某一行的各元素加上另一行
9、对应元素的k倍，行列式的值不变。性质6.n阶行列式D=aijn等于它的任一行的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即：D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin，i=1,2，n.推论：假设行列式某一行元素都等于1，那么行列式等于其所有代数余子式之和。2.3化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上下三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。因为利用行列式的定义容易求得上下三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。这是计算行列式的根本方法重要方法之一。 原那么上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多
10、情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。上三角行列式D=a11a120a22a1na2n00a44=a11a22ann下三角行列式D=a110a21a2200an1an2a44=a11a22ann例1: 计算n阶行列式解：这个行列式的特点是每行列元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不变，得例2:计算行列式解:这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上下三角行列式来计算例3： 计算分析：假设直接化为三角形行列式，计算很繁琐，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式
11、的性质，先从第n-1列开始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：2.4利用范德蒙行列式，n2.例：计算行列式解 : 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式2.5利用数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜测值，再用数学归纳法给出猜测的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜测其值是比拟难的，所以是先给定其值，然后再去证明。例： 计算n阶行列式解：用数学归纳法. 当
12、n = 2时 假设n = k时，有 那么当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n，有2.6利用递推公式对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn1, Dn2之间的一种关系即递推公式其中Dn, Dn1, Dn2等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法。用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，很难找出递推关系式，从而不能使用此方法例:计算n阶行列式Dn=2112112112112解：这是三对角行列式，其递推公式是： Dn=2Dn-1Dn-2适当移项可得关于Dn的递推关系式Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3=D2-D1因D2=4-1
13、=3，D1=2，故D2-D1=1，D3-D2=1，Dn-Dn-1=1，归纳可得Dn=Dn-1+1=（Dn-2+1+1=D1+n-1=n+1.2.7 降阶法降阶法又称按行列展开法，是按某一行或一列展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。按行列展开法可以将一个 n 阶行列式化为 n 个 n-1 阶行列式计算。假设继续使用按行列展开法，可以将 n 阶行列式降阶直至化为许多个 2 阶行列式计算，这是计算行列式的又一根本方法。但一般情况下，按行列展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行
14、列含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行列展开法时，应利用行列式的性质将某一行列化为有较多的零元素，再按该行列展开拉普拉斯定理：设在n阶行列式D中取定某k行，那么D等于这k阶子式Ni(i=1,2,，t)与它们各自对应的代数余子式Ai的乘积之和，即D=N1A1+N2A2+NtAt=i=1tNiAi,其中t=cnk例1: 计算 20 阶行列式分析：这个行列式中没有一个零元素，假设直接应用按行列展开法逐次降阶直至化许许多多个 2 阶行列式计算,需进行 20！*201 次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是 n 阶。但假设利用行列式的性质将其化为有很多零元素，那么很快就可算
15、出结果。 注意到此行列式的相邻两列行的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算例2： 计算n阶行列式解：将Dn按第1行展开.2.8升阶法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行列有一个相同的字母外，也可用于其列行的元素分别为n-1 个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：例: 计算n阶行列式 解： 箭形行列式 2.9拆开法由行列式拆项性质知，将行列式拆成假设干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行列法。由行列式的性质知道，假设行列式的某行列的元素都是两个数之和，那么该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行列分别
