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1、实验五 连续时间LTI系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用；2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI系统的时域响应；3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系；4、掌握用MATLAB对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法。二、实验原理拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段，对于当时信号幅度不衰减或增长的时间信号，其傅里叶变换不存在，但我们可以用拉普拉斯变换来分析它们。连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为： ，其中s=,若以为横坐标（实轴），为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一个复平面，称
2、为s平面。显然，F(s)是复变量s的复函数，为了便于理解和分析随s的变化规律，我们可以将F(s)写成：,其中 为复信号F(s)的模，而为F(s)的相角。1、拉普拉斯变换及MATLAB的实现（1）利用matlab符号运算功能实现拉普拉斯变换 如果连续时间信号f(t)可用符号表达式表示，则可直接调用MATLAB的laplace函数来实现其单边拉普拉斯变换。 调用laplace函数的命令格式为：L=laplace(F) : 输入参量F为连续时间信号f(t)的符号表达式，输出参量L为返回默认符号自变量s的关于F的拉普拉斯变换的符号表达式。L=laplace(F,v)：输入参量F为连续时间信号f(t)的
3、符号表达式，输出参量L为返回默认符号自变量v的关于F的拉普拉斯变换的符号表达式。例：5-1 已知f(t)=e-tsint,求f(t)的拉氏变换 在command 窗口输入以下命令：syms t w ; %定义时间符号变量F=exp(-t)*sin(w*t); %定义连续时间信号的符号表达式L=laplace(F) %计算拉普拉斯变换的符号表达式(2)利用matlab符号运算功能实现拉普拉斯逆变换 MATLAB为用户提供实现信号拉普拉斯逆变换的专用函数ilaplace。调用ilaplace函数的命令格式为：F=ilaplace(L) :输入参量L为连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的符号
4、表达式，输出参量F为返回默认符号自变量t的关于符号表达式L的拉普拉斯逆变换f(t)的符号表达式。F=ilaplace(L，w) :输入参量L为连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的符号表达式，输出参量F为返回默认符号自变量w的关于符号表达式L的拉普拉斯逆变换f(t)的符号表达式。例：5-2 已知,求F(s)的拉氏反变换在command 窗口输入以下命令：syms s; %定义复变量sL=s2/(s2+1); %定义拉普拉斯变换(像函数)的符号表达式F=ilaplace(L) %计算拉普拉斯逆变换（3）部分分式展开设连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换为若MN,此项为零 真分式部分分式展开
5、有理多项式对于复频域F(s)可以应用MATLAB的residue函数求出F(s)部分分式展开的系数及其极点位置后，可得到其拉普拉斯逆变换f(t)。调用residue()函数的命令格式为:r,p,k=residue(num,den)：式中，r为包含F(s)所有部分分式展开系数ri(i=1,2,.N)的列向量，p为包含F(s)所有极点位置的列向量，k为包含F(s)部分分式展开的多项式的系数kj(j=1,2,M-N)的行向量，若Mnum=1,6,5;den=1,4,5,0;r,p,k=residue(num,den)将系数与极点配对可得F(s)的部分分式展开形式：2、拉普拉斯变换曲面图与傅里叶变换之
6、间的关系 （1）拉普拉斯变换曲面图的MATLAB实现MATLAB为拉普拉斯变换三维曲面图的可视化表现提供了便捷的方法和工具。用matlab绘制拉普拉斯幅度曲面图的过程如下： 定义两个向量x和y来确定绘制曲面图的复平面横坐标（实轴）和纵坐标（虚轴）的范围。 调用meshgrid函数产生包含绘制曲面图的s平面区域所有等间隔取样点的复矩阵s。 计算复矩阵s定义的各样点处信号拉普拉斯变换F(s)的函数值，并调用ads函数求其模的大小。 调用mesh函数绘出其幅度曲面图。函数说明：x,y = meshgrid(x1,y1)：用来产生绘制平面图的区域，由x1，y1来确定具体的区域范围，由此产生s平面区域。
7、当x=y时，meshgrid函数就可以写成meshgrid(x)。mesh (x,y,z,c)：用于绘制三维网格图，一般情况下，x、y、z是维数相同的矩阵。c省略时，matlab认为c=z，颜色的设定是正比于图形的高度。surf (x,y,z,c)：用于绘制三维曲面图，各线条之间的补面用颜色填充。view (az,el)：设置视点的函数，其中az为方位角，el为仰角，均以度为单位。系统默认的视点定义为方位角-37.5度，仰角为30度。（2）拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系根据课堂上所学的知识可知，拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系可表述为：傅里叶变换是信号在虚轴上的拉普拉斯变换，也可用下面的
8、数学表达式表示 即令信号拉普拉斯变换F(s)中复变量s的实部为零（=0），就可以得到信号的傅里叶变换F(jw)。从三维几何空间的角度来看，信号f(t)的傅里叶变换F(jw)就是其拉普拉斯曲面图中s平面虚轴剖图（=0）所对应的曲线。3、系统函数的零极点分布图（1）MATLAB方法用于系统函数分析描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function）”H(s)： 系统函数的实质就是系统单位冲激响应（Impulse Response）的拉普拉斯变换。因此，系统函数也可以定义为： 所以，系统函数的一些特点是和系统的时域响应的特点相对应的。在教材中，我们求系统
9、函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经过拉氏变换之后得到系统函数。假设描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为： 对上式两边做拉普拉斯变换，则有 即 上式告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI系统，它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。根据这一特点，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。系统函数大多数情况下是复变函数，可以有多种表示形式，其中零极点形式： ，zj（j=1,2,M）为H(s
10、)的M个零点，pi（i=1,2,N）为H(s)的N个极点。函数说明： r=roots (c):用于计算零、极点，其中c为多项式的系数向量（从高次到低次），r为根向量。若参数为H(s)的分子多项式系数b，则得到零点；若为H(s)的分母多项式系数a，则得到极点。 p,z=pzmap(sys):也具有计算极点p和零点z的功能。 pzmap(sys):不带返回值，则绘制出系统的零、极点分布图。H = freqs(num,den,w)：计算由num,den描述的系统的频率响应特性曲线。返回值H为频率向量规定的范围内的频率响应向量值。如果不带返回值H，则执行此函数后，将直接在屏幕上给出系统的对数频率响应曲
11、线（包括幅频特性取向和相频特性曲线）。H = impulse(num,den,t)：求系统的单位冲激响应，不带返回值，则直接绘制响应曲线，带返回值则将冲激响应值存于向量h之中。例5-5 设有系统函数，试画出零、极点分布图，并求系统的冲激响应和频率特性H（w）参考程序：num=1;den=1,2,2,1;sys=tf(num,den);poles=roots(den)figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);title(冲激响应);H,w=freqs(num,den);figure(3);p
12、lot(w,abs(H);注：将鼠标移到零极点上即能显示其位置坐标。系统函数的零极点图（Zero-pole diagram）能够直观地表示系统的零点和极点在s平面上的位置，从而比较容易分析系统函数的收敛域和稳定性。（2）系统函数的极点分布与系统的稳定性和因果性之间的关系一个稳定的LTI系统，它的单位冲激响应h(t)满足绝对可积条件，即 同时，我们还应该记得，一个信号的傅里叶变换的存在条件就是这个信号满足绝对可积条件，所以，如果系统是稳定的话，那么，该系统的频率响应也必然是存在的。又根据傅里叶变换与拉普拉斯变换之间的关系，可进一步推理出，稳定的系统，其系统函数的收敛域必然包括虚轴。稳定的因果系统
13、，其系统函数的全部极点一定位于s平面的左半平面。所以，对于一个给定的LTI系统，它的稳定性、因果性完全能够从它的零极点分布图上直观地看出。三、实验内容及步骤(1) 试利用MATLAB绘制单边矩形脉冲信号f(t)=u(t)-u(t-2)的拉普拉斯变换的幅度曲面图及该信号的幅度频谱曲线，观察分析拉普拉斯变换幅度曲面图在虚轴剖面上的对应曲线，并将其与信号傅里叶变换F(jw)绘制的振幅频谱进行比较。(波形不用写入实验报告)提示：clear;a=-0:0.1:5;b=-20:0.1:20;%确定绘图区域写出f(t)信号的拉普拉斯变换F（s），取其绝对值%绘制曲面图mesh(); surf();%调整观察视角 view(-60,20) 加坐标 axis(0,5,-20,20,0,2);title(The Laplace transform of the rectangular pulse);w=-20:0.1:20;写出f(t)信号的傅里叶变换F（w）画幅度频谱曲线 plot(w, );title(The Fourier transform of the rectangular pulse);xlabel(frequence w);（2零极点分析已知系统函数，求零极点并画出零极点图，并求阶跃响应和冲击响应。根据poles 取到的零级点，分析此系统的稳定性（参考
