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1、数学思想专项训练数形结合思想一、选择题1已知点P在抛物线y24x上，那么点P到Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.B.C. D.2已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2C. D.3设点P(x，y)，变量x、y满足约束条件点Q的坐标为(4,3)，O为坐标原点，|，则的最大值是()A. B.C8 D.4已知f(x)则x1,1，|f(x)|ax成立的充要条件是()Aa(，10，)Ba1,0Ca0,1Da1,0)5已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如图所示，那
2、么不等式f(x)cos xb0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_9已知实数x，y满足，若不等式a(x2y2)(xy)2恒成立，则实数a的最小值是_10设有函数f(x)a和g(x)x1，已知x4,0时恒有f(x)g(x)，则实数a的取值范围是_三、解答题11求函数f()的最大值12已知A(1,1)为椭圆1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|PA|的最大值和最小值13(2013洛阳统考)某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96,10
3、6，样本数据分组为96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为y求这批产品平均每个的利润答 案1选A定点Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y1和抛物线y24x的交点，解得这个点的坐标是.2选C因为(ac)(bc)0，所以(ac
4、)(bc)如图所示，设c，a，b，ac，bc，即ACBC，又OAOB，所以O，A，C，B四点共圆当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.3.选D|，即54x3y，设z4x3y，它表示斜率为，纵截距为z的一组直线系画出不等式组所表示的可行域，如图，由图可知，当直线经过可行域上的点M时，纵截距z最大，即z取得最大值，此时也取得最大值容易求得点M的坐标为，则zmax，即5，所以的最大值是.4.选B当x1,0时，原不等式可变为|x22|ax，即2x2ax，f(x)图象如图所示；当x(0,1时，原不等式可变为|3x2|ax，g(x)|3x2|的图象如图所示，当|f(x)|ax恒成立时，由图可知
5、a的取值范围是1,05选B不等式f(x)cos x0等价于或画出f(x)在(3,3)上的图象，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(0,1).6选C由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数，又f(x)lg x，则x(0,10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点7解析：由向量的几何意义可知，若a，b，2b，则a2b，AOC60(如图)，由平行四边形法则，可知四边形OADC为菱形，所以向量a与向量a2b的夹角为30.答案：308解析：设切点为A，如图所示，切线AP、PB互相垂直，又半径OA垂直于AP，所以OPA为等腰
6、直角三角形，可得a，所以e.答案：9解析：作出满足题中方程组的可行域，如图阴影部分所示：由题可得a1.设t(t表示过原点和点(x，y)的直线的斜率)，则t2,4，t，故max，所以a，即amin.答案：10解析：由f(x)g(x)，得ax1，变形得x1a，令y1，y2x1a，y1变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；y2表示斜率为，纵截距为1a的平行直线系若不等式成立，则直线在半圆上方，解得：a5.答案：(，511解：可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点P(cos ，sin )与点A(，0)连线的斜率，而点P(cos ，sin )在单位圆上移动，
7、问题变为：求单位圆上的点与A(，0)连线斜率的最大值如图，显然，当P点移动到B点(此时，AB与圆相切)时，AP的斜率最大，最大值为tan BAO1.12解：由1可知a3，b，c2，左焦点F1(2,0)，右焦点F2(2,0)由椭圆定义，|PF1|2a|PF2|6|PF2|，|PF1|PA|6|PF2|PA|6|PA|PF2|.如图，由|PA|PF2|AF2|，知|PA|PF2|.当P在AF2的延长线上的P2处时，取右“”；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“”，即|PA|PF2|的最大、最小值分别为，.于是|PF1|PA|的最大值是6，最小值是6.13解：(1)产品净重小于100克的频率为
8、(0.0500.100)20.300.设样本容量为n.样本中产品净重小于100克的个数是36，0.300，n120.样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.1000.1500.125)20.750，样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.75090.(2)产品净重在96,98)，98,104)，104,106内的频率分别为0.05020.100，(0.1000.1500.125)20.750，0.07520.150.其相应的频数分别为1200.10012,1200.75090,1200.15018.这批产品平均每个的利润为(123905184)4.65(元)
