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1、第七章无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必 要条件 几何级数与级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定 理任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及 其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内 的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数 狄利克雷(Dirichlet)定理 函数在 上的傅里叶级数 函 数在上的正弦级数和余弦级数 考试要求1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级
2、数的基本性质及收敛 的必要条件。2. 掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件。3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7. 理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法。8 .了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积 分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10. 掌握sinx，cosx，l
3、n(1+ x)及arctanx的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级 数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达 式。一.无穷级数概论1. 无穷级数定义设a 为一个数列，称无a = a + a + a +. +.为无穷级数.几n 123n=1注记1:但方an只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义.n=12. 无穷级数收敛的定义(1) 部分和、部分和数列的定义对任意n e N +，称数列前n项和气=匕为级数无匕的部分和.k=1k=
4、1称数列sj为级数方ak的部分和数列.k=1(2) 无穷级数收敛的定义若级数无匕的部分和数列气是收敛的，则称级数无气是收敛的，并且记k=1k=1乙=lim S .k n T+3 n k =13. 无穷级数收敛的性质(1)无穷级数收敛的必要条件I若无穷级数无气收敛，则其部分和数列sj有界.反之不然.n=1事实上，由于方气收敛，因此，其部分和数列SJ收敛，于是，SJ有界.但 n=1s 有界，S 却未必收敛.例如，级数无(-1)-1部分和数列为 nnn=1也土，s 有界n但无(-1)-1不收敛.n=1例1.无1不收敛.nn =1事实上，c , 1, 1, 1,S = 1 + + + +.- 1 (1
5、1) _+_ +3 4 )1 .+ n(1 11 1 一+5 6 7 8 ) 1+1+2+4+日=1+1+1+2 4 82心 2 21 2hog2 n-1 + 12hog2 n 1 2hog2 n /+ 2 = 1 + 2 log n+8(n +8)于是，S 不收敛，即方1不收敛. nnn =1(2)无穷级数收敛的必要条件II若方an=1收敛，则lim a = 0.事实上，假设乙部分和为Sn，则s收敛n=1记S = limS，于是，nn8lim a = lim (S - Sn8n8)=limS -limS = S S = 0.nn-1nn-1n8但反之结论不成立.例如，虽然lim1 = 0，但
6、无穷级数方1不收敛.n3 nnn =1(3) 无穷级数收敛的必要条件m若无穷级数无气收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变. n=1假设加括号后的级数写为+ a + a )+ 4i1+1ii+ 2i2i2+1+ a +a )+=a+ a +a )i2 +2i3in-1+1in-1 +2inn =1a + a +a )+ a12i1 N，总有a cb .若万b收敛，则无a收敛. n nnnn=1n=1事实上，我们假设方气的部分和n=1为A , b的部分和为B ,n=1则对任意：+ ； a + cb =kkkkk=1k=N+1k=1k=N+1件 ak-&j +X k=1k=1/乙b + cb
7、k =1k=N+1若方收敛，则B有界，于是，A有界。于是，气收敛. n =1n=1则无an 收n=1(2)比较判别法的极限形式设气和、为正项级数.如果lim土=i .当i=0，若b收敛n n=1, n, nns b若气收敛，则n=1n=1n=1n敛.当0l 0，当n N，有% 1，即a b.由比较判别n法，若气收敛，则气收敛.若0 l 0，使得当 n=1n =1n N，由11 土 0和0 r N ,有 n=1%1 1和N 0，使得当n N，有i r , 气n=1 an则E a发散.n n=1事实上，若0 r N +1，有a ra r (ra)= r2a r2 (ra)= r3a rka. rn
8、-n一 1an n-1n-2n-2n-3n-3n-kN+1由于0 r 1，当n N +1，类似地，有a rn-n-1a +1 .由于r 1，因此，级数E rn 一 N-1 是发散的.由比较判别法，级数Ean是发散的. n=1n=1（2）比较判别法的极限形式设E a为正项级数.假设lim n1 nnr+3 an =1n=l .若l 1，则E a nnn=1n=1发散.若l=1，此法失效.事实上，若l 1，任取l a 0，当n N，有i a .由于0 a 1，任取nn=1l a 1（例如a=也），则存在一个N 0，当n N有，有巳廿a 1.由比值2an判别法，E a发散.若l = 1，取a = 1，则lim匕+1
