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1、精选优质文档-倾情为你奉上将军饮马问题问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P，连接AP、BP， 在ABP中，AP+BPAB，即AP+BPAP+BPP为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2. 已知：如图，定点A
2、和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA，要使PA+PB最小，则需PA+PB值最小，从而转化为模型1.3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使PA-PB的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时PA-PB=AB，在l上任取异于点P的一点P， 连接AP、BP，由三角形的三边关系知PA-PBAB， 即PA-P
3、BPA-PB4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使PA-PB的值最大解：作点B关于直线l的对称点B，连接BA并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB，要使PA-PB最大，则需 PA-PB值最大 ，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_，此时PC+PD的最小值为_.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D，连接CD交
4、x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为BAO的中位线，OP为 CDD的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小令y=x+4中x=0，则y=4，点B坐标（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=6，点A的坐标为（6，0）点C、D分别为线段AB、OB的中点，CD为BAO的中位线， CDx轴，且CD=AO=3，点D和点D关于x轴对称，O为DD的中点，D（0，-1），OP为CDD的中位线，OP=CD=，点P的坐标为
5、（，0）在RtCDD中，CD=5，即PC+PD的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变 化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD的解析 式，再求其与x轴的交点P的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，1），点B 的坐标为（，2），点P在直线y=x上运动，当|PAPB|最 大时点P的坐标为_，|PAPB|的最大值是_.【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=x对称点C， 连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=x的 交点P的坐标；此时|PAPB|=|PCPB|=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解
6、答】作A关于直线y=x对称点C，易得C的坐标为（1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y=x，与直线y=x联立解得交点坐标P为（4，4）；此时|PAPB|=|PCPB|=BC取得最大值，最大值BC=；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0）， OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短 时，点P的坐标为（）A（0，0） B（1，） C（，） D（，）变式训练1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2， BD=2,E为AB的中点，P为对角
7、线AC上一动点，则PE+PB的 最小值为_.变式训练1-3如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标. 拓展模型1. 已知：如图，A为锐角MON外一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使 AP+PQ的值最小. 解：过点A作AQON于点Q，AQ与OM相交于点P，此 时，AP+PQ最小； 理由：AP+PQAQ，当且仅当A、P、Q三点共线时， AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段
8、最短，当 AQON时，AQ最小.2. 已知：如图，A为锐角MON内一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使 AP+PQ的值最小. 解：作点A关于OM的对称点A，过点A作AQON 于点Q，AQ交OM于点P，此时AP+PQ最小； 理由：由轴对称的性质知AP=AP，要使AP+PQ最小， 只需AP+PQ最小，从而转化为拓展模型13. 已知：如图，A为锐角MON内一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使 APQ的周长最小 解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时APQ周长最
9、小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线 时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A，作点B关于直线ON的对称点B，连接AB交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的 最小值即为线段AB和AB的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA,将QB转化为QB，当A、P、Q、B四点共线时，PA+PQ+ QB的值最小，即
10、PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型 已知：如图，直线mn,A、B分别为m上方和n下方的定 点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小. 分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A，使得AA=PQ，连接AB交直线n于点Q，过点Q作PQn，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA为平行四边形，则QA=PA，当B、Q、A三点共线时，QA+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6. 已知：如
11、图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a (a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边） 要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A，使AA=PQ=a,连接AB交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为AB+PQ，即AB+a理由：易知四边形APQA为平行四边形，则PA=QA，当A、Q、B三点共线时，QA+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7. 已知：如图，定点A、B分布于直
12、线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点关于l的对称点，转化为上述模型3解：作A点关于l的对称点A，将点A沿着平行于l的方向，向右移至A，使AA=PQ=a，连接AB交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为AB+AB+PQ，即AB+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E
13、，再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B关于AC的对称点E，再过点E作ENAB于N，则BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长；AB=10，BC=5，AC=5，等面积法求得AC边上的高为=2，BE=4，易知ABCENB，代入数据解得EN=8即BM+MN的最小值为8【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，AOB=60，点P是AOB内的定点且OP=，点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小
