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1、浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用一、仿射变换思想方法=1(a0,b0)中，令x=，y=,，则椭圆方程变为单位圆C：x2+y2=1，该变换椭圆C:x2y2+a2b2xyab过程称为仿射变换。相当于在xoy与xoy两个坐标系来研究问题，但圆中几何意义明显，便于计算。但最后要还原到椭圆中去解决问题。变化前后点的坐标对应变化：(x,y)(x,y)=(x,y)(x,y)(x,y)=(ax,by)ab1+k2|AB|（其中m=二、性质1、点线关系不变（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线（2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上（3）原三点共线，后三点也共线；原直线平行，后直线
2、也平行2、原弦长|AB|,斜率k，后弦长|AB|，|AB|=1+m2k23.直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）ab）已知直线l:Ax+Bx+C=0，椭圆C:x2y2+a2b2xy=1，讨论直线与椭圆的位置关系。由x=，y=,仿射变换ab后，直线l:Ax+Bx+C=0变为l:Aax+Bbx+C=0。（此结论可以作为公式背下，提高平时做题的速度）椭圆变为C：x2+y2=1，由直线与圆的位置关系易得答案。例1已知直线x+y-3=0，椭圆x24+y2=1，则直线与椭圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相切或相交xx2解：由x=，y=y仿射变换后，直线x+y-3=0，椭圆24+y2=1
3、分别变为直线2x+y-3=0、椭圆x2+y2=1，而直线2x+y-3=0到圆x2+y2=1的距离d=|-3|22+12=351，所以直线和圆相离，由于仿射变换直线与圆锥曲线的位置关系不变，所以原直线和椭圆相离。选C例2、直线2x-y+1=0与椭圆x2y2+=1的位置关系是（）416A.相交B.相切C.相离D.相切或相交解：由x=xyx2y2y=仿射变换后，直线2x-y+1=0，椭圆+=1分别变为直线4x-4y+1=0、椭圆x2+y2=1，42416而直线4x-4y+1=0到圆x2+y2=1的距离d=位置关系不变，所以原直线和椭圆相交。选A|1|42+42b0)的内接三角形的面积的最大值为解：令
4、x=xy,y=，化椭圆为x2+y2=1，在xoy坐标系中，而当圆x2+y2=1的内接三解形为正三角形时，三ab角形的面积取最大值。111如图x2+y2=1内接正三角形的面积可求得S=3333,由S=abS得对应的椭圆的面积的最大值为S=ab.44例3椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点,则四边形AEBF的面积的最大值为解:yBEyBEAxAxFF由条件可得椭圆方程为x24xy+y2=1,令x=,y=，化椭圆为x2+y2=1，在xoy坐标系中，四边形AEBF的面ab积的最大值在EFAB时取得，此时S=大值为S=
5、2ab=221222=2，由S=abS可得对应的椭圆中四边形AEBF面积的最例4已知椭圆x2y2+a2b2=1(ab0)，F、F分别为椭圆左右焦点，过F、F作两条互相平行的弦，分别与椭1212圆交于M、N、P、Q四点，若当两条弦垂直于x轴时，点M、N、P、Q所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为_.分析利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M、N、P、Q四点分别变换为M、N、P、Q四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M、N、P、Q四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两
6、点F、F，12当OF为多少时，能使得过F、F的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.112解作仿射变换，令x=x,y=ay，可得仿射坐标系xOy，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x2+y2=a2，b(c点F、F坐标分别为(-c,0)、,0)，过F、F作两条平行的弦分别与圆交于M、N、P、Q四点.由平行四边形性1212质易知，三角形OPQ的面积为M、N、P、Q四点所形成的平行四边形面积的1，故只需令三角形OPQ面4积的最大值在弦2PQ与x轴垂直时取到即可.由文2中的结论，易得当c0,2a时，三角形OPQ面积的最大值在弦PQ与x轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为0，2
7、.2说明此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算较为简便，故使得本题的解答过程大大简化.本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.+=1，A(1,m)为椭圆内一定点，过点A的弦与椭圆交于P、Q两点，若使得三角形例2变式已知椭圆x2y243OPQ面积为3的弦PQ存在两条，则m取值范围为_.例1（2017贵州竞赛）如图，已知DABC的三个顶点在椭圆C:DABC的面积。x2y2+=1上，坐标原点O为DABC的重心。试求124这道题其实是在证明这样的一个性质：已知DA
8、BC的三个顶点在椭圆C:x2y233-=1上，坐标原点O为DABC的重心，则DABC的面积为定值ab。a2b24a,y=b后，C：x2+y2=1证明经过变换x=xyB+xC=0，y因此满足：xA+xA+y首先我们要知道，变换之后O是否是三角形DABC的重心。由重心性质知：在原坐标系中OA+OB+OC=0，即x+x+x=0,y+y+y=0，ABCABCyB+C=0aaabbb即变换后x+x+x=0,y+y+y=0，ABCABC因此OA+OB+OC=0，变换后O仍为重心。接下来，就可以利用重心这个条件，得到一些漂亮的几何关系：容易发现DABC为内接于单位圆的等边三角形，所以得到S3DABC=34，为定值。又由仿射变换的性质S=abS知：S3DABC=34ab，为定值。再回到那道预赛题，代入数据可知面积为9。
