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1、圆锥曲线与方程椭圆知识点一椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：平面内与两定点F, F距离的和等于常数2aC|FF|)的点的轨迹叫做椭1 2 1 1 2 1 圆，即点集M=P| |PF | + |PF |=2a, 2a|FF|=2c；1 2 1 2这里两个定点F , F叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。12(2a = IFF I时为线段FF , 2a b0)；焦点F( 土c,0)y 2x2 1 焦点在y轴上：0i +(ab0)；焦点F (0, 土c)注意：在两种标准方程中，总有ab0,并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：乂 +兰=1或者mx2+ny2=1mn二椭圆的
2、简单几何性质：1. 范围(1) 椭圆+上=1 (ab0)横坐标-aWxWa ,纵坐标-bWxWba 2 b2(2) 椭圆 21 + 乂 = 1 (ab0)横坐标-bWxWb，纵坐标-aWxWaa 2 b22. 对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点(1) 椭圆的顶点：A (-a, 0), A (a, 0), B (0, -b), B (0, b)1 2 1 2(2) 线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭1 2 1 2圆的长半轴长和短半轴长。4离心率(1)我们把椭圆的
3、焦距与长轴长的比竺，即c称为椭圆的离心率,2aac2b记作e(eb0)准线方程：x = a 2 b2c 焦点在y轴上：竺+竺=1 (ab0)准线方程：y = a2a 2 b2c小结一：基本元素(1) 基本量：a、b、c、e、(共四个量)， 特征三角形(2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点)(3) 基本线：对称轴(共两条线)5椭圆的的内外部x2y 2 1(1) 点P(x ,y )在椭圆乂 +兰=1(a b 0)的内部 总+ b2 b 0)的外部 a + -b 1.0 0a2 b2a 2 b26.几何性质(1) 最大角(ZFPF ) =ZFB F ,1 2 max 1 2 2(2) 最大距离，
4、最小距离例题讲解：一. 椭圆定义：1 .方程Y(x - 2)1 + y 2 + 比+ 2)1 + y 2 = 10化简的结果是2.若AABC的两个顶点A(-4,0),B(4,0), AABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是“知椭圆16 +于=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为二. 利用标准方程确定参数1若方程旦 + 二 =1 (1)表示圆，则实数k的取值是.5 k k 3(2) 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(3) 表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是(4) 表示椭圆，则实数k的取值范围是2. 椭圆4x2 + 25y2二100的长轴长等于，短轴长
5、等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3. 椭圆乂 +兰=1的焦距为2，则m =。4 m4. 椭圆5x2 + ky2二5的一个焦点是(0,2)，那么k =。三. 待定系数法求椭圆标准方程1. 若椭圆经过点(4,0)，(0, 3)，则该椭圆的标准方程为。2. 焦点在坐标轴上，且a2 = 13， c2 = 12的椭圆的标准方程为3. 焦点在x轴上，a: b = 2:1， c = *6椭圆的标准方程为4. 已知三点P (5，2)、F(6, 0)、F (6，0)，求以F、F为焦点且过点P的椭圆的标1 2 1 2准方程；变式：求与椭圆4x2 + 9y2二36共焦点，且过点(3, 2)的椭圆
6、方程。四焦点三角形1. 椭圆2 +兰=1的焦点为F、F , AB是椭圆过焦点F的弦，则AABF的周长是。9 25 1 2 1 22. 设F , F为椭圆16x2 + 25y2二400的焦点，P为椭圆上的任一点，则APF F的周长是多1 2 1 2 少？ APFF的面积的最大值是多少？123 .设点P是椭圆乂 +兰=1上的一点，F, F是焦点，若ZFPF是直角，则AFPF的面积2516121212为。变式：已知椭圆9x2 +16y2 = 144，焦点为FF?，P是椭圆上一点.若午PF? = 60。，求APFF的面积.12五离心率的有关问题1. 椭圆乂 + = 1的离心率为丄，则m =4 m22.
7、 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为120 0，则此椭圆的离心率e为3. 椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4设椭圆的两个焦点分别为F、F,过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPF为等腰1、 2 2 1 2 直角三角形，求椭圆的离心率。5在AABC中，ZA = 3Oo,l AB 1= 2,S=訂.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该AABC椭圆的离心率e =最值问题：1椭圆x + y 2 = 1两焦点为F、F,点P在椭圆上，则|PF |PF |的最大值为，最小4 1 2 1 2值为2、椭圆X + y = 1两焦点为F、F，A(3, 1)点P在椭圆上，则|P
8、F| + |PA|的最大值为，25 16 1 2 1最小值为_3、已知椭圆一 + y2 = 1, A(l, 0), P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小4值。4设F是椭圆竺+疋=1的右焦点，定点A(2,3)在椭圆内，在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最32 24小,求P点坐标最小值同步测试1已知8, 0), F2(8, 0),动点P满足IPFI+IPF2I=16,则点P的轨迹为()A圆B椭圆 C线段D直线x2 y22、椭圆花一壬=1左右焦点为耳、F2, CD为过耳的弦，则A CDF.的周长为16 9 1 2 1 1x2y23已知方程+= 1表示椭圆，则k的取值范围是()1 + k 1
9、 一 kA TvkvlB k0C k0D k1 或 k-l4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长为10,短轴长为6(2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2, 1)_(3) 经过点(5, 1), (3, 2)_5、若/ABC顶点B、C坐标分别为(-4, 0), (4, 0), AC、AB边上的中线长之和为30,则/ABC的重心G 的轨迹方程为x2 y26椭圆 =1(a b 0)的左右焦点分别是耳、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。a 2 b 2 1 2 1若ZF1PF2=60，则椭圆的离心率为7、已知正方形ABCD，贝9以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为椭圆方程为 x2
10、 y 28已知椭圆的方程为+ 2二1, P点是椭圆上的点且ZFPF二60。，求APFF的面积4 3 1 2 1 29若椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为.，贝9满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为x2y 210. 椭圆+7 = 1上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是 1003611. 已知椭圆+豊二1(a 5)的两个焦点为F、F，且|FF| = 8，弦AB过点F，则 ABF 2的周a 225121 112长x2 y 212.在椭圆25+g=i上求一点p,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、中心在原点、长轴是短轴的两倍，一条准线方程为x = 4,那么这个椭
11、圆的方程为_。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离，则椭圆的离心率e =.15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，准线方程为y = 18，椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为.16.已知P是椭圆9x2 + 25y2 = 900上的点，若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为.17椭圆H +盏=1内有两点A（2,2）, B（3,Q）, P为椭圆上一点，若使|PA| + 5|pb|最小，则最小值为 18、 椭圆+=1 与椭圆+=X（XQ）有 3223（A）相等的焦距（B）相同的离心率（C）相同的准线（D）以上都不对19、椭圆竺+止=1与旦+丄 =1 （0k9）的关系为2599-入 25-入（A）相等的焦距（B）相同的的焦点（C）相同的准线（D）有相等的长轴、短轴20、椭圆竺+竺=1上一点P到左准线的距离为2,则点P到右准线的距离为 6 2X 2 y 221、点P为椭圆左+ J = 1上的动点,F ,F为椭圆的左、右焦点，则PF -PF的最小值为25161212此时点 P 的坐标为.
